📂통계적분석

앙상블 신디 E-SINDy

알고리즘 ¹

신디 알고리즘: 상태공간이 $\mathbb{R}^{n}$ 인 동역학계가 다음과 같이 스무스 함수 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ 에 의해 주어진다고 하자. $$ \dot{\mathbf{x}} = f \left( \mathbf{x} \right) $$ $X$ 의 독립변수들에 어떤 비선형함수를 취해서 얻는 파생변수로 만든 행렬 $\Theta \left( X \right) \in \mathbb{R}^{m \times p}$ 과 다음 행렬방정식에 STLSQ을 수행해서 지배 방정식^{governing equation}을 찾는 알고리즘을 신디^SINDy라 한다. $$ \dot{X} = \Theta \left( X \right) \Xi $$

신디의 변형으로, 배깅을 적용해서 라이브러리를 줄여나가는 알고리즘을 앙상블-신디^{E-SINDy, Ensemble-SINDy}라 한다.

설명

실제로 노이즈가 있는 데이터에 신디를 적용해보면 데이터의 부분집합을 어떻게 주느냐에 따라 방정식의 형태가 천차만별로 변하기도 한다. 그럼에도 불구하고 반복되는 부트스트랩 속에서 일관되게 등장하는 계수와 항들이 있다면, 그것들이야말로 시스템을 잘 설명하는 방정식의 구성 요소일 것이다.

태생적으로 신디의 라이브러리는 ‘충분히 크게’ 주어서 그 중에서 관련된 항들이 스파스하게 찾아지는 스파스 회귀인데, 이 충분히 크다는 라이브러리의 수가 많아지면 단순 비용 문제를 떠나 풀 랭크를 이루지 못하거나 하면서 최소제곱법에 문제를 일으키기도 한다. 앙상블-신디는 더 작은 라이브러리를 찾아가며 성능과 안정성을 양면에서 개선하는 방법이라 볼 수 있다.

그림에서 설명되는 것과 같이 E-SINDy는 데이터 포인트 그 자체에 대한 부트스트랩과 라이브러리에 대한 부트스트랩이라는 두가지 구현법이 있다. 어떤 방식을 선택하든 라이브러리의 특정 항이 얼마나 자주 등장하는지를 세어 허용치^tolerance를 넘기지 못하면 삭제하고 최종 모델을 얻는 식이다. 신디를 어떻게 구현하느냐에 따라서는 라이브러리 E-SINDy를 구현하기가 더 어려울 수 있다.