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복소해석에서 특이점의 종류 📂복소해석

복소해석에서 특이점의 종류

정의

특이점 1

  1. 함수 ff 가 α\alpha 에서 어떤 N(α)\mathcal{N}(\alpha) 의 모든 점에서 미분가능하면 α\alpha 에서 해석적analytic이라고 한다.
  2. 함수 ff 가 α∈C\alpha \in \mathbb{C} 에서는 해석적이지는 않지만 모든 N(α)\mathcal{N}(\alpha) 의 어떤 점에서는 해석적일 때 α\alpha 를 ff 의 특이점singular point이라고 부른다.
  3. 특이점 α\alpha 이 α\alpha 를 제외한 모든 점에서 해석적인 N(α)\mathcal{N}(\alpha) 가 존재하면 α\alpha 가 고립isolated되어있다고 한다.
  • N\mathcal{N} 은 네이버후드로, α\alpha 를 포함하는 오픈 셋을 의미한다.

종류

α∈C\alpha \in \mathbb{C} 가 ff 의 특이점이라고 하자.

  1. ∃lim⁡z→αf(z)  ⟺  \displaystyle \exists \lim_{z \to \alpha} f(z) \iff α\alpha 는 제거할 수 있는removable 특이점이다.
  2. lim⁡z→α(z−α)nf(z)=k≠0  ⟺  \displaystyle \lim_{z \to \alpha} (z - \alpha)^n f(z) = k \ne 0 \iff α\alpha 는 nn차 극점pole of Order nn이다.
  3. α\alpha 가 극점이 아니거나 분기에 연관되어 있다.   ⟺  \iff α\alpha 는 본질적 특이점essential singular point다.

설명

극점은 특히 n=1n=1 이면 단순극simple Pole이라 한다.

사실 아주 변태적인 경우가 아닌 이상은 보통 ff 가 정의되지 않는 점이 곧 특이점이 된다.

예를 들어, f(z)=z−i(z2+1)(z+i)\displaystyle f(z) = {{z - i} \over {(z^2+1)(z+i)}} 이라고 한다면 특이점은 z=±iz= \pm i 이 될 것이다. 딱히 유한할 필요도 없는데, csc⁡z\csc z 의 경우 z=nπ(n∈Z)z = n \pi ( n \in \mathbb{Z} ) 모두가 특이점이다. 한편 Logz\text{Log} z 은 z=0z= 0 에서 특이점을 가지는데, 위에서 들었던 예시와들과는 조금 다르다는 느낌이 들 것이다.

  • f(z)=z−i(z2+1)(z+i)\displaystyle f(z) = {{z - i} \over {(z^2+1)(z+i)}} 에서 z=iz = i 는 제거할 수 있고, z=−iz = -i 는 22차 극점이다.

  • lim⁡z→nπz−nπsin⁡z=1\displaystyle \lim_{z \to n \pi} {{ z - n \pi } \over {\sin z }} = 1 이므로 csc⁡z\csc z 의 특이점들은 모두 11차 극점, 즉 단순극들이다.

  • 마지막으로 Logz\text{Log} z 에서 z=0z = 0 은 분기점 이므로, 본질적 특이점이다.

이러한 특이점의 분류는 언뜻 아무 의미 없는 정의놀음처럼 보이지만 후에 이어지는 적분에 대한 논의에서 아주 중요한 개념이 된다.

  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p63. ↩︎