📂유체역학

레이놀즈 수: 층류와 난류의 구분

정의 ¹

유체의 밀도 $\rho$ 와 유속 $v$, 특성 길이 $d$, 점성 $\mu$ 에 대해 다음과 같은 무차원수를 레이놀즈 수^{Reynolds number}라 한다. $$ \mathrm{Re} := \frac{\rho v d}{\mu} $$ 경험적으로, $\mathrm{Re} < 2300$ 일 때는 층류^{laminar flow}, $\mathrm{Re} > 4000$ 일 때는 난류^{turbulent flow}가 발생한다고 말한다.

설명

²

우리는 소위 레이놀즈 수의 분자를 관성력^{inertial force}이라 부르고, 분모를 점성력^{viscous force}이라 부른다. 즉, 레이놀즈 수는 관성력과 점성력의 비를 나타낸다.

관성력이 크다는 것은 그만큼 유체의 본질과 별개로 가진 에너지가 크다는 뜻이고, 점성력이 작다는 것은 유체가 훨씬 자유분방하게 움직일 수 있다는 뜻이다. 이래저래 $\textrm{Re}$ 가 커지면 유체의 운동은 더욱 복잡해지고 불규칙해지며 우리가 상상하는 난류에 가까워진다.

작은 물줄기 하나를 쏟아내고 있는 수도관을 상상해보면, 밸브를 열면 $d$ 가 커지면서 유속 $v$ 가 빨라지므로 레이놀즈 수가 커지고 실제로 콸콸 쏟아지는 난류가 된다. 점성력이 극단적으로 높은 예로는 천천히 흐르는 용암같은 것이 있는데 이 경우 우리는 어렵지 않게 층류를 상상할 수 있다.

층류

난류

유도 ³

정의니까 유도할 필요는 없지만, 관성력 $F_{n}$ 과 점성력 $F_{t}$ 의 비로부터 레이놀즈 수가 유도되는 과정을 살펴볼 수 있다. 그다지 엄밀하지 않으니 그냥 참고만 하는 게 좋다.

우선 유체가 모서리의 길이가 $l$ 이고 질량이 $m$ 인 미소 정육면체를 상상해보자.

밀도와의 관계식은 $m = \rho l^{3}$ 이고, $l$ 은 충분히 작으므로 가속도 $a$ 는 유속 $u$ 에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ a = {\frac{ du }{ dt }} \approx {\frac{ u }{ l / u }} = {\frac{ u^{ 2 } }{ l }} $$ 이에 따라 관성력 $F_{n}$ 은 다음과 같이 근사할 수 있다. $$ \begin{align*} F_{n} =& ma \\ \approx& \rho l^{3} \cdot {\frac{ u^{ 2 } }{ l }} \\ =& \rho l^{2} u^{2} \end{align*} $$

한편 점성력 $F_{t}$ 는 점성 스트레스 $\tau$ 가 작용하는 면적 $l^{2}$ 의 곱으로 나타나므로 $F_{t} = - \tau l^{2}$ 이다.

뉴턴의 점성 법칙: $$ \tau = \mu \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) $$

뉴턴의 점성 법칙은 $x$ 방향만 고려된 1차원 꼴이라고 했을 때 $\tau = - \mu du / dy$ 이고 $du / dy \approx u / l$ 이므로, $F_{t}$ 도 다음과 같이 근사할 수 있다. $$ \begin{align*} F_{t} =& - \tau l^{2} \\ =& - \left( - \mu {\frac{ du }{ dy }} \right) l^{2} \\ \approx& \mu \frac{u}{l} l^{2} \\ =& - \mu u l \end{align*} $$ 두 힘 $F_{n}$ 과 $F_{t}$ 의 비는 다음과 같다. $$ {\frac{ F_{n} }{ F_{t} }} \approx {\frac{ \rho l^{2} u^{2} }{ \mu u l }} = {\frac{ \rho u l }{ \mu }} = \mathrm{Re} $$