📂유체역학

하겐-푸아죄유 법칙 증명

법칙 ¹

정의

비압축성인 뉴턴 유체가 관의 지름이 $D = 2R$ 로 일정한 파이프를 통해 흐를 때, 관의 축과 수직한 방향으로 관의 중심에서 떨어진 거리를 $r$ 이라고 하자. 관의 벽($r = R$)에서는 유속이 $\mathbf{0}$ 이 되고 관 중심($r = 0$)에서는 유속이 최대가 되며, 그 유속의 분포가 $r$ 에 따른 포물선을 그리는 유동을 하겐-푸아죄유 유동^{Hagen-Poiseuille flow}라 한다.

정리

이 유동에서 관의 중심에서 거리 $r$ 에서의 유속 $u(r)$ 은 다음과 같다. $$ u = - {\frac{ 1 }{ 4 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} \left( R^{2} - r^{2} \right) $$ 여기서 $\mu$ 는 동점성 계수, $p$ 는 압력이다. 관을 통해 흐르는 유량 $Q$ 는 다음과 같으며, 다음을 하겐-푸아죄유 법칙^{Hagen-Poiseuille law}이라 한다. $$ Q = - {\frac{ \pi R^{4} }{ 8 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} $$

설명

쉽게 말해 위와 같이 오른쪽으로 흘러가는 유동에서, 왼쪽처럼 관벽과 가깝든 말든 똑같은 속도 분포를 가지면 이상적인 유체고 오른쪽처럼 관벽에 가까워질수록 속도가 점점 느려지는 분포를 가지면 하겐-푸아죄유 유동을 한다고 말한다.

증명

과정 전반에서 부호가 헷갈릴 수 있는데, 쉽게 생각해서 힘이 미소 원기둥의 안쪽으로 작용하려면 부호가 어때야하는지만 신경쓰면 된다. 부호에 대해서 일일이 설명하지는 않겠다.

길이가 $l$ 이고 반지름이 $r$ 인 미소 원기둥을 생각하려 한다. $x$ 의 방향으로 유동이 일어난다고 할 때 왼쪽에서 이 원기둥으로 가해지는 빨간색 압력을 $p_{1}$ 이라 한다면, 오른쪽에서 가해지는 파란색 압력은 $l$ 만큼 더 갔으므로 $- \left( p_{1} + {\frac{ d p }{ d x }} l \right)$ 이 된다. 한편 원기둥의 옆면에는 노란색으로 전단 스트레스가 가해지므로, 스트레스 $\tau$ 와 원기둥의 옆면적 $2 \pi r l$ 의 곱이 된다. 원기둥의 위아래 면적은 동일하게 $\pi r^{2}$ 이고, 힘의 평형식은 다음과 같다. $$ {\color{red} p_{1} \pi r^{2}} - {\color{blue} \left( p_{1} + {\frac{ d p }{ d x }} l \right) \pi r^{2}} - {\color{orange} \tau 2\pi r l} = 0 $$ 몇가지 항을 상쇄시키고 $\pi r l$ 로 양변을 나누면 다음과 같다. $$ \ - {\frac{ d p }{ d x }} r - 2 \tau = 0 $$

뉴턴의 점성 법칙: $$ \tau = \mu \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) $$

뉴턴의 점성 법칙은 $x$ 방향만 고려된 1차원 꼴이라고 했을 때 $\tau = - \mu du / dr$ 이므로, 다음의 미분방정식을 얻는다. $$ {\frac{ d u }{ d r }} = {\frac{ 1 }{ 2 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} r $$ 양변을 $r$ 에 대해 적분하면 적분상수 $C$ 에 대해 다음을 얻는다. $$ u = {\frac{ 1 }{ 4 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} r^{2} + C $$ 하겐-푸아죄유 유동의 정의에 따라 관의 벽($r = R$)에서는 유속이 $0$ 이어야 하므로, $r = R$ 을 대입하면 다음을 얻는다. $$ C = - {\frac{ 1 }{ 4 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} R^{2} $$ 적분상수가 구해졌으니 이를 다시 유속식에 대입하면 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다. $$ u = - {\frac{ 1 }{ 4 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} \left( R^{2} - r^{2} \right) $$

미소 원기둥의 중심에서 $r$ 만큼 떨어졌고 폭이 $dr$ 인 미소 원환 $S$ 의 면적이 $dA$ 고, 속도가 $u$ 로 일정하다고 하면 미소 유량 은 $d Q = u d A$ 고 유량은 다음과 같은 면적분을 통해 구할 수 있다. $$ Q = \int_{S} d Q = \int_{S} u d A $$ 원환의 면적은 $dA = 2 \pi r dr$ 이므로, 유량식은 다음과 같다. $$ \begin{align*} Q =& \int_{0}^{R} - {\frac{ 1 }{ 4 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} \left( R^{2} - r^{2} \right) 2 \pi r dr \\ =& - {\frac{ \pi }{ 2 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} \int_{0}^{R} \left( R^{2} r - r^{3} \right) dr \\ =& - {\frac{ \pi }{ 2 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} \left[ {\frac{ R^{4} }{ 2 }} - {\frac{ R^{4} }{ 4 }} \right] \\ =& - {\frac{ \pi R^{4} }{ 8 \mu }} {\frac{ d p }{ d x }} \end{align*} $$

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