📂유체역학

유체역학에서의 베르누이 방정식

정리 ¹

비점성이고 비압축성인 유체가 정상유동을 할 때, $1$차원 물기둥에서 높이 $z$ 에 따른 유속이 $u$ 이라고 하자. 압력 $p$ 와 밀도 $\rho$, 중력가속도 $g$ 에 대해, 높이 $z$ 에서 단위체적당 에너지는 다음과 같으며 일정하다. $$ {\frac{ \rho u^{2} }{ 2 }} + \rho g z + p $$

설명

위 아래, 쉽게 말해 상류와 하류가 있고 관의 폭이 같다면 하중이 쏠리는 하류 쪽이 더 빠를 것임을 직관적으로 예상할 수 있다. 이는 고전역학에서 에너지 보존 법칙^{energy conservation law}이 성립하는 것처럼 위치 에너지가 운동 에너지로 변하는 것으로 볼 수 있다.

증명

오일러 방정식: $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - {\frac{ 1 }{ \rho }} \nabla p + \mathbf{g} $$

벡터꼴로 나타낸 오일러 방정식을 높이 $z$ 만 고려한 1차원 꼴로 바꾸면 $\mathbf{g} = - g$ 이므로 다음과 같다. $$ {\frac{ \partial u }{ \partial t }} + u {\frac{ \partial u }{ \partial z }} = - {\frac{ 1 }{ \rho }} {\frac{ \partial p }{ \partial z }} - g $$ 정상유동을 가정하므로 $u_{t} = 0$ 으로 둘 수 있다. 양변을 $\rho$ 로 곱하고 유선을 따라가면서 양변을 적분하면 다음을 얻는다. $$ \rho \int u {\frac{ \partial u }{ \partial z }} dz = - \int {\frac{ \partial p }{ \partial z }} dz - \rho g \int dz $$ 모든 항을 좌변으로 몰아넣으면 어떤 적분 상수 $C$ 에 대해 다음과 같다. $$ \begin{align*} \rho \int u {\frac{ \partial u }{ \partial z }} dz + \int {\frac{ \partial p }{ \partial z }} dz + \rho g \int dz =& C \\ \implies \rho {\frac{ u^{2} }{ 2 }} + p + \rho g z =& C \end{align*} $$

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