두 사건이 독립이면 여사건끼리도 독립임을 증명
정리
다음은 서로 동치다. $$ P(A \cap B) = P(A)P(B) \\ P(A \cap B^c)=P(A)P(B^c) \\ P(A^c \cap B)=P(A^c)P(B) \\ P(A^c \cap B^c)=P(A^c)P(B^c) $$
설명
알아두면 큰 도움이 되는 팩트일 뿐만이 아니라 공식으로써도 유용하다.
증명
$P(A \cap B) = P(A)P(B)$ 이라 가정하자. 다시 말해, 사건 $A$, $B$ 는 독립이다. 여사건의 성질에 따라 $$ P(A)=1-P(A^{ c }) \\ P(B)=1-P(B^{ c }) $$ 이므로 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ 의 우변은 $$ \begin{align*} P(A)P(B)&=(1-P(A^{ c }))(1-P(B^{ c })) \\ =& 1-P(A^{ c })-P(B^{ c })+P(A^{ c })P(B^{ c }) \end{align*} $$ 이고, 좌변은 드 모르간의 정리에 따라 $$ \begin{align*} P(A\cap B) =& 1-P((A\cap B)^{ c }) \\ =& 1-P(A^{ c }\cup B^{ c }) \end{align*} $$ 이다. $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ 의 양변에 대입해서 정리하면 $$ P(A^{ c }\cup B^{ c })=P(A^{ c })+P(B^{ c })-P(A^{ c })P(B^{ c }) $$ 을 얻는다. 여기서 사건 $A$, $B$ 가 서로 독립이므로 확률의 덧셈정리에 의해 $$ P(A^{ c }\cup B^{ c })=P(A^{ c })+P(B^{ c })-P(A^{ c }\cap B^{ c }) $$ 따라서 $$ P(A^{ c })P(B^{ c })=P(A^{ c }\cap B^{ c }) $$ 을 얻는다. 즉, $A$ 와 $B$ 가 독립이면 $A^c$ 와 $B^c$ 도 독립이다. 한편 $$ \begin{align*} P(A)P(B^{ c })&=P(A){1-P(B)} \\ &=P(A)-P(A)P(B) \\ &=P(A)-P(A)-P(B)+P(A\cup B) \\ &=P(A\cup B)-P(B) \\ &=P(A\cap B^{ c }) \end{align*} $$ 이고, 이는 $A^c$와 $B$ 에 대해서도 마찬가지다.
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