나비에-스톡스 방정식 유도
정리
$$ \mathbf{u} = \mathbf{u} \left( t ; \mathbf{x} \right) = \left( u_{1} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{2} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{3} \left( t ; \mathbf{x} \right) \right) $$ 특히, 3차원 공간에서 시점 $t$ 와 공간좌표 $\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$ 의 유속장을 위와 같은 속도벡터로 나타낸다고 하자. 그와 비슷하게, $p : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$ 은 각 좌표에서 가해지는 압력 $p = p \left( \mathbf{x} \right)$ 을 나타낸다. $\mathbf{u}$ 가 비압축성인 뉴턴 유체의 유속이라면, 다음의 지배 방정식을 따른다. $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - \nabla w + \nu \nabla^{2} \mathbf{u} + \mathbf{g} $$ 여기서 $\nabla \cdot$ 은 발산, $\nu = \mu / \rho$ 는 동점성 계수 $\mu$ 와 밀도 $\rho$ 의 비, $\nabla w = \nabla p / \rho$ 는 열역학적 일thermodynamic work, $\mathbf{g}$ 는 중력가속도다.
설명
나비에-스톡스 방정식Navier-Stokes equation은 유체역학에서의 오일러 방정식에 뉴턴 유체를 가정하면서 점성항 $\nabla^{2} \mathbf{u}$ 가 추가된 지배방정식이다.
3차원 공간에서 이 편미분방정식의 스무스한 해가 언제나 존재하는지, 그렇지 않다면 그 반례를 찾는지에 대한 문제를 나비에-스톡스 존재성과 스무스함Navier–Stokes existence and smoothness이라 하며 밀레니엄 문제 중 하나로 남아있다.
간혹 풀기만 해도 100만 달러를 준다는 식으로 말하기도 하는데, 난이도를 보았을 때 ‘풀기만 해도’라는 표현은 적절하지 못하다. 유체역학의 방정식에 대해 인류의 지혜가 깊어진다는 것은 천기를 읽는 것에 가까워지는 것이다. 당연히 무척 어렵고, 그 유도를 이해하는 것조차 꽤나 적지 않은 공부가 필요하다.
유도
유체역학에서의 오일러 방정식: $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - {\frac{ 1 }{ \rho }} \nabla p + \mathbf{g} $$
오일러 방정식에서부터 시작하려 한다. 물질 미분 $D$ 를 쓰고 양변에 $\rho$ 를 곱하면 다음과 같다. $$ \rho {\frac{ D \mathbf{u} }{ D t }} = - \nabla p + \rho \mathbf{g} $$ 이 상태로는 점성에 의한 반발력을 고려하지 않으니, 이제 우변에서 작용하는 $- \nabla p$ 를 수정하려 한다.
코시 스트레스 텐서: 주로 물리학에서, 한 점에 각 방향과 전단으로 작용하는 스트레스를 성분으로 가지면서 다음과 같이 정의되는 정방행렬 $\mathbf{\sigma} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ 을 코시 스트레스 텐서Cauchy stress tensor라 한다. $$ \sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix} $$
오일러 방정식에서 코시 스트레스 텐서는 $\sigma = - p I$ 와 같이 압력항만을 포함하고 있었다. 체적이 $V$ 인 유체 덩어리에 작용하는 힘 $\mathbf{f}$ 는 $V$ 를 감싸는 표면 $\partial V$ 에 대한 폐곡면적분 $\mathbf{f} = \oint_{\partial V} \sigma \cdot d S$ 으로 나타낼 수 있다.
발산 정리: 3차원 벡터함수 $\mathbf{F}$에 대해서 다음이 성립한다. $$ \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot \mathbf{F} dV = \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} $$ 여기서 $\nabla \cdot \mathbf{F}$는 다이벌전스, $\int_{\mathcal{V}}$는 부피적분, $\oint_{\mathcal{S}}$는 폐곡면적분이다.
발산 정리에 따라 부피적분으로 바꿔보면 $\nabla \cdot \left( - p I \right) = - \nabla p$ 이므로 다음을 얻는다. $$ \begin{align*} \mathbf{f} =& \oint_{\partial V} \sigma \cdot d S \\ =& \int_{V} \nabla \cdot \sigma d V \\ =& \int_{V} \nabla \cdot \left( - p I \right) d V \\ =& \int_{V} - \nabla p d V \\ \implies {\frac{ d \mathbf{f} }{ d V }} =& - \nabla p \end{align*} $$ 여기서 헷갈릴 수 있으니 잠깐 $d \mathbf{f} / d V$ 과 $\rho \mathbf{g}$ 에 대한 차원 분석을 통해 단위를 확인해보자. $$ \begin{align*} {\frac{ d \mathbf{f} }{ d V }} :& {\frac{ \text{force} }{ \text{volume} }} = \left[ {\frac{ \mathrm{kg} \cdot m / s^{2} }{ \mathrm{m}^{3} }} \right] = \left[ {\frac{ \mathrm{kg} }{ m^{2} \cdot s^{2} }} \right] \\ \rho \mathbf{g} :& {\frac{ \text{mass} }{ \text{volume} }} \cdot \text{acceleration} = \left[ {\frac{ \mathrm{kg} }{ \mathrm{m}^{3} }} \right] \cdot \left[ {\frac{ m }{ s^{2} }} \right] = \left[ {\frac{ \mathrm{kg} }{ m^{2} \cdot s^{2} }} \right] \end{align*} $$
요지는, 오일러 방정식의 유도는 코시 스트레스 텐서 $\sigma$ 에 대한 폐곡면적분으로도 가능하다는 것이다. 더 일반적으로는, 중력에 의한 항인 $\rho \mathbf{g}$ 를 제외한 영향은 $d \mathbf{f} / d V = \nabla \cdot \sigma$ 와 같이 코시 스트레스 텐서의 다이벌전스를 더해주는 것으로써 반영할 수 있는 것이다. 이제 $\sigma$ 에 다음과 같이 전단 스트레스 $\tau$ 를 추가하자. $$ \sigma = - p I + \tau $$
뉴턴의 점성 법칙: 유체역학에서, 비압축성이면서 등방성 유체에 가해지는 스트레스는 유속의 대칭화된 그래디언트에 정비례한다는 것을 뉴턴의 점성 법칙Newton’s law of viscosity이라 하고, 수식적으로는 스트레스의 텐서 $\tau \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ 와 유속장 $\mathbf{u}$ 의 자코비안 $\nabla \mathbf{u}$ 에 대해 다음과 같이 나타낸다. $$ \tau = \mu \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) $$
방정식의 대전제에서 뉴턴 유체를 가정했으므로, $\nabla \cdot \sigma$ 는 뉴턴의 점성 법칙에 따라 다음과 같이 쓸 수 있다. $$ \begin{align*} \nabla \cdot \sigma =& \nabla \cdot \left( - p I + \tau \right) \\ =& \nabla \cdot \left( - p I + \mu \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) \right) \\ =& - \nabla p + \mu \nabla \cdot \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) \\ =& - \nabla p + \mu \nabla \cdot \left( \nabla \mathbf{u} \right) + \mu \nabla \cdot \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \end{align*} $$
$\nabla \mathbf{u}$ 의 다이벌전스: $$ \nabla \cdot \nabla \mathbf{u} = \nabla^{2} \mathbf{u} $$ $\left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T}$ 의 다이벌전스: $$ \nabla \cdot \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) $$
한편 유체는 비압축성이라 가정했으므로 $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$ 이고, 마지막항을 없앨 수 있다. $$ \begin{align*} \nabla \cdot \sigma =& - \nabla p + \mu \nabla^{2} \mathbf{u} + \mu \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) \\ =& - \nabla p + \mu \nabla^{2} \mathbf{u} \end{align*} $$
이제 원래 방정식으로 돌아가면, 다음과 같이 두가지 표현을 모두 얻는다. $$ \begin{align*} \rho {\frac{ D \mathbf{u} }{ D t }} =& \nabla \cdot \sigma + \rho \mathbf{g} \\ =& - \nabla p + \mu \nabla^{2} \mathbf{u} + \rho \mathbf{g} \\ \overset{\div \rho}{\implies} {\frac{ D \mathbf{u} }{ D t }} =& - \nabla w + \nu \nabla^{2} \mathbf{u} + \mathbf{g} \end{align*} $$
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