코시 스트레스 텐서
정의 1
주로 물리학에서, 스트레스를 성분으로 가지면서 다음과 같이 정의되는 정방행렬 $\mathbf{\sigma} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ 을 코시 스트레스 텐서Cauchy stress tensor라 한다. $$ \sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix} $$
설명
한 점에 작용하는 스트레스라고는 하나, 면으로 미는 힘인 전단 응력shear stress이 포함되다보니 $\sigma$ 는 정의에서 보이는 것처럼 일반성을 잃지 않고 아주 작은 미소부피를 가지는 육면체으로 생각하는 것이 편하다.
등방성
주로 유체역학의 맥락에서는, 유체는 등방성isotropy을 가져 어떤 방향에서나 작용하는 힘이 일정하다고 가정한다. 등방성은 꼭 유체역학에서만 생각하는 개념은 아니고, 방향을 무시하는 가정을 세울 때 언제나 접할 수 있는 가정이다.
대각성분 $\sigma_{11} , \sigma_{22} , \sigma_{33}$ 은 세가지 차원에서 각각 작용하는 수직 스트레스로써 생각하며, 등방성을 가정해서 일정하게 정수압hydrostatic pressure $p$ 가 가해진다면 $\sigma$ 의 대각합은 다음을 만족하게 된다. $$ \tr \left( \sigma \right) = \sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33} = - 3 p $$
여기서 $3p$ 가 아닌 $-3p$ 인 이유는 물체에 가해지는 힘의 방향이 안쪽이기 때문이다. 압력 외의 스트레스가 없다면, 코시 스트레스 텐서는 항등행렬 $I$ 에 대해 다음과 같이 간단하게 나타난다. $$ \sigma = \begin{bmatrix} -p & 0 & 0 \\ 0 & -p & 0 \\ 0 & 0 & -p \end{bmatrix} = - p I $$