전치 벡터 그래디언트의 다이벌전스
공식
벡터함수 $\mathbf{u} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ 가 스무스해서 $\mathbf{u} \in C^{2} \left( \mathbb{R}^{n} \right)$ 이라고 하자. $\mathbf{u}$ 의 트랜스포즈 $\left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T}$ 에 대한 다이벌전스는 다음과 같다. $$ \nabla \cdot \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) $$
설명
이 공식은 나비에-스톡스 방정식의 유도에서 대칭화된 그래디언트의 다이벌전스를 구할 때 사용된다.
이 포스트의 의의는 $\nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right)$ 가 실제로 어떻게 생겼는지 손에 잡힐듯이 보여주며, 트랜스포즈 $^{T}$ 가 어떻게 사라지는지를 유도과정에서 확실하게 짚고 넘어간다는 데 있다.
주의해야하는 건, $\nabla \cdot \nabla \mathbf{u} = \nabla^{2} \mathbf{u}$ 와는 달리 2번 연속적으로 미분가능해야한다는 가정이 필요하다는 점이다. 물리학적인 측면에서는 자연스럽게 만족하지만 항상 통하는 건 아니니 명심하도록 하자.
유도
$$ \nabla \mathbf{u} = \nabla \left( u_{1} , u_{2} , u_{3} \right) = \begin{bmatrix} {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{1} }} & {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{2} }} & {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{3} }} \\ {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{1} }} & {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{2} }} & {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{3} }} \\ {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{1} }} & {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{2} }} & {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{3} }} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \partial_{1} u_{1} & \partial_{2} u_{1} & \partial_{3} u_{1} \\ \partial_{1} u_{2} & \partial_{2} u_{2} & \partial_{3} u_{2} \\ \partial_{1} u_{3} & \partial_{2} u_{3} & \partial_{3} u_{3} \end{bmatrix} $$
일반성을 잃지 않고 $n = 3$ 인 경우에 대해서만 노가다로 계산해보려 한다. $\partial_{i}$ 는 $i$번째 변수에 대한 편미분 연산자를 의미한다. 오히려 이정도의 정직한 계산이 유체역학 등에서는 더 유용할 것이다.
$$ \begin{align*} \nabla \cdot \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} =& \nabla \cdot \begin{bmatrix} \partial_{1} u_{1} & \partial_{1} u_{2} & \partial_{1} u_{3} \\ \partial_{2} u_{1} & \partial_{2} u_{2} & \partial_{2} u_{3} \\ \partial_{3} u_{1} & \partial_{3} u_{2} & \partial_{3} u_{3} \end{bmatrix} \\ = & \begin{bmatrix} \partial_{1} \partial_{1} u_{1} + \partial_{2} \partial_{1} u_{2} + \partial_{3} \partial_{1} u_{3} \\ \partial_{1} \partial_{2} u_{1} + \partial_{2} \partial_{2} u_{2} + \partial_{3} \partial_{2} u_{3} \\ \partial_{1} \partial_{3} u_{1} + \partial_{2} \partial_{3} u_{2} + \partial_{3} \partial_{3} u_{3} \end{bmatrix} \\ = & \begin{bmatrix} \partial_{1} \partial_{1} u_{1} + \partial_{1} \partial_{2} u_{2} + \partial_{1} \partial_{3} u_{3} \\ \partial_{2} \partial_{1} u_{1} + \partial_{2} \partial_{2} u_{2} + \partial_{2} \partial_{3} u_{3} \\ \partial_{3} \partial_{1} u_{1} + \partial_{3} \partial_{2} u_{2} + \partial_{3} \partial_{3} u_{3} \end{bmatrix} & \because \mathbf{u} \in C^{2} \left( \mathbb{R}^{n} \right) \\ = & \begin{bmatrix} \partial_{1} \left( \partial_{1} u_{1} + \partial_{2} u_{2} + \partial_{3} u_{3} \right) \\ \partial_{2} \left( \partial_{1} u_{1} + \partial_{2} u_{2} + \partial_{3} u_{3} \right) \\ \partial_{3} \left( \partial_{1} u_{1} + \partial_{2} u_{2} + \partial_{3} u_{3} \right) \end{bmatrix} \\ = & \nabla \left( \partial_{1} u_{1} + \partial_{2} u_{2} + \partial_{3} u_{3} \right) \\ = & \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) \end{align*} $$