벡터 그래디언트의 다이벌전스
공식
벡터함수 $\mathbf{u} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ 의 그래디언트 $\nabla \mathbf{u}$ 에 대한 다이벌전스는 다음과 같다. $$ \nabla \cdot \nabla \mathbf{u} = \nabla^{2} \mathbf{u} $$
설명
이 공식은 나비에-스톡스 방정식의 유도에서 대칭화된 그래디언트의 다이벌전스를 구할 때 사용된다.
이 포스트의 의의는 유도 과정 그 자체라기보다는 $\nabla^{2} \mathbf{u}$ 가 실제로 어떻게 생겼는지 손에 잡힐듯이 보여준다는 데 있다.
유도
$$ \nabla \mathbf{u} = \nabla \left( u_{1} , u_{2} , u_{3} \right) = \begin{bmatrix} {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{1} }} & {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{2} }} & {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{3} }} \\ {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{1} }} & {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{2} }} & {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{3} }} \\ {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{1} }} & {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{2} }} & {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{3} }} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \partial_{1} u_{1} & \partial_{2} u_{1} & \partial_{3} u_{1} \\ \partial_{1} u_{2} & \partial_{2} u_{2} & \partial_{3} u_{2} \\ \partial_{1} u_{3} & \partial_{2} u_{3} & \partial_{3} u_{3} \end{bmatrix} $$
일반성을 잃지 않고 $n = 3$ 인 경우에 대해서만 노가다로 계산해보려 한다. $\partial_{i}$ 는 $i$번째 변수에 대한 편미분 연산자를 의미한다. 오히려 이정도의 정직한 계산이 유체역학 등에서는 더 유용할 것이다.
$$ \begin{align*} \nabla \cdot \nabla \mathbf{u} =& \nabla \cdot \begin{bmatrix} \partial_{1} u_{1} & \partial_{2} u_{1} & \partial_{3} u_{1} \\ \partial_{1} u_{2} & \partial_{2} u_{2} & \partial_{3} u_{2} \\ \partial_{1} u_{3} & \partial_{2} u_{3} & \partial_{3} u_{3} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \partial_{1} \partial_{1} u_{1} + \partial_{2} \partial_{2} u_{1} + \partial_{3} \partial_{3} u_{1} \\ \partial_{1} \partial_{1} u_{2} + \partial_{2} \partial_{2} u_{2} + \partial_{3} \partial_{3} u_{2} \\ \partial_{1} \partial_{1} u_{3} + \partial_{2} \partial_{2} u_{3} + \partial_{3} \partial_{3} u_{3} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \nabla^{2} u_{1} \\ \nabla^{2} u_{2} \\ \nabla^{2} u_{3} \end{bmatrix} \\ =& \nabla^{2} \mathbf{u} \end{align*} $$
이게 헷갈리는 이유는 라플라시안에 대한 정의가 벡터 함수에 대해 확장되는 과정을 생략하거나 행렬을 읽는 방향이 명확하지 않을 수 있기 때문이다.
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