📂다변수벡터해석

대칭화된 그래디언트

정의 ¹

$\mathbf{u}$ 의 자코비안을 간단히 $\nabla \mathbf{u}$ 로 나타낸다고 하자. 이때, 다음과 같이 정의되는 행렬 연산 $\epsilon (\mathbf{u})$ 를 대칭화된 그래디언트^{symmetrized gradient}라 한다. $$ \varepsilon (\mathbf{u}) = {\frac{ 1 }{ 2 }} \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) $$

설명

대칭화된 그래디언트는 텐서 $\nabla \mathbf{u}$ 와 그 전치행렬^{transpose matrix} $\left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T}$ 의 평균으로 정의된다. 정의 자체에서 알 수 있듯 $\varepsilon (\mathbf{u})$ 는 대칭행렬이다.

대칭화된 그래디언트는 편미분방정식을 다룰 때 접할 수 있으며, 특히 뉴턴의 점성 법칙을 기술할 때 나타나기도 한다. 주로 $\mathbf{u}$ 는 3차원 벡터함수로 나타난다. 그래디언트는 스칼라 함수에 대해 정의되었기 때문에, 벡터함수로 다루는 $\mathbf{u}$ 의 그래디언트는 자코비안이다. 더 명확하게 행렬꼴로 적어보면 다음과 같다. $$ \nabla \mathbf{u} = \nabla \left( u_{1} , u_{2} , u_{3} \right) = \begin{bmatrix} {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{1} }} & {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{2} }} & {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{3} }} \\ {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{1} }} & {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{2} }} & {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{3} }} \\ {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{1} }} & {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{2} }} & {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{3} }} \end{bmatrix} $$