물질 미분
정의 1
$$ \mathbf{u} = \mathbf{u} \left( t ; \mathbf{x} \right) = \left( u_{1} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{2} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{3} \left( t ; \mathbf{x} \right) \right) $$ 특히, 3차원 공간에서 시점 $t$ 와 공간좌표 $\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$ 의 속도벡터를 위와 같이 나타낸다고 하자.
$$ {\frac{ D }{ D t }} = {\frac{ \partial }{ \partial t }} + u_{1} {\frac{ \partial }{ \partial x_{1} }} + u_{2} {\frac{ \partial }{ \partial x_{2} }} + u_{3} {\frac{ \partial }{ \partial x_{3} }} $$
위와 같이 시간에 대한 미분항과 발산항의 합으로써 표현되는 미분 연산 $D$ 을 물질 미분material derivative이라 한다. 벡터꼴 $\mathbf{u}$ 에 대해서는 다음과 같이 나타낸다. $$ {\frac{ D \mathbf{u} }{ D t }} = {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} $$
설명 1
벡터꼴로 적힌 물질 미분을 각 차원별로 풀어헤치면 다음과 같다. $$ \begin{align*} {\frac{ D u_{1} }{ D t }} =& {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) u_{1} \\ {\frac{ D u_{2} }{ D t }} =& {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) u_{2} \\ {\frac{ D u_{3} }{ D t }} =& {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) u_{3} \end{align*} $$ 마지막으로 한번만 더 이해를 돕기 위해 좌표별로 적어보면 다음과 같다. $$ \begin{align*} {\frac{ D u_{1} }{ D t }} =& {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial t }} + u_{1} {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{1} }} + u_{2} {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{2} }} + u_{3} {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{3} }} \\ {\frac{ D u_{2} }{ D t }} =& {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial t }} + u_{1} {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{1} }} + u_{2} {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{2} }} + u_{3} {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{3} }} \\ {\frac{ D u_{3} }{ D t }} =& {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial t }} + u_{1} {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{1} }} + u_{2} {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{2} }} + u_{3} {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{3} }} \end{align*} $$
오일러와 라그랑주 기술법의 결합
다시 간결한 형태로 돌아와서, 물질 미분의 우변은 다음과 같이 두 종류의 항을 포함하고 있다. $$ {\frac{ D \mathbf{u} }{ D t }} = {\color{red} {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }}} + {\color{blue} \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u}} $$ 여기서 첫번째 빨간 $\color{red} \partial \mathbf{u} / \partial t$ 를 국소가속local acceleration 혹은 더 간단히 관성항이라 부를 수도 있다. 두번째 파란 $\color{blue} \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u}$ 는 대류가속convective acceleration 혹은 더 간단히 대류항이라 부른다.
오일러와 라그랑주 기술법: 유체역학에서 유체는 형태가 명확하지 않고 운동 상태를 자세히 알기 어렵기 때문에 유체 입자fluid particle와 같은 걸 상정한다. 유체 입자의 운동 상태를 설명하는 기술법description 두가지가 있다. $$ {\frac{ \partial u }{ \partial t }} $$ 오일러Eulerian 기술법은 한 시점을 고정하고 모든 점에서 유체의 운동 상태를 관찰하는 방식이다. $$ {\frac{ \partial u }{ \partial x }} , {\frac{ \partial u }{ \partial y }} , {\frac{ \partial u }{ \partial z }} $$ 라그랑주Lagrangian 기술법은 유체 입자를 추적하며 그 운동 상태를 관찰하는 방식이다.
관성항은 오일러 기술법, 대류항은 라그랑주 기술법에서 유래한다. 이렇듯 항을 부르는 이름도 그렇고, 물질 미분은 특히 유체역학 전반에서 반드시 등장한다.
$$ u_{t} + u u_{x} = 0 $$ 예를 들어 비점성 버거스 방정식는 물질 미분을 사용하여 다음과 같이 더 간략하게 쓸 수 있다. $$ {\frac{ D u }{ D t }} = 0 $$
유도
벡터해석에 대해 익숙하다면 쉽게 알 수 있듯, 사실 물질 미분은 전미분의 특수한 예에 지나지 않는다. 유도과정을 직접 보고 이해해보자.
다변수 벡터함수의 연쇄법칙: 두 함수 $\mathbf{g} : D \subset \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{k}$, $\mathbf{f} : \mathbf{g}(\mathbb{R}^{k}) \subset \mathbb{R}^{k} \to \mathbb{R}^{n}$가 미분 가능하다고 하자. 그러면 두 함수의 합성 $\mathbf{F} = \mathbf{f} \circ \mathbf{g} : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}$도 미분가능하고, $\mathbf{F}$의 (전)도함수는 다음을 만족한다. $$ \mathbf{F}^{\prime}(\mathbf{x}) = \mathbf{f}^{\prime}\left( \mathbf{g}(\mathbf{x}) \right) \mathbf{g}^{\prime}(\mathbf{x}) $$
$\partial t / \partial t = 1$ 이고 $k = 1,2,3$ 에 대해 $u_{k} = d x_{k} / dt$ 이므로, 벡터함수의 연쇄법칙에 의해 물질 미분을 얻을 수 있다.