📂추상대수

추상대수학에서 항등원과 모노이드

정의 ¹

반군 $\left< M , \ast\ \right>$ 의 모든 원소 $a$ 에 대해, $a \ast\ e = e \ast\ a = a$ 를 만족하는 $e$ 가 존재하면 $\left< M , \ast\ \right>$ 를 모노이드^monoid라 정의한다. 그리고 이러한 $e$를 이항연산 $*$에 대한 항등원^{identity element}이라 부른다.

설명

모노이드는 항등원이 존재하는 반군이다. 항등원 정도 되는 개념을 도입하면 할 수 있는 이야기는 상당히 많아진다. 반군이 되면서 모노이드가 되지 않는 대표적인 예를 보도록 하자.

반군 $\left< \mathbb{N} , +\right>$ 는 모노이드가 아니다.

• 임의의 자연수 $a$ 에 대해 항등원 $e$ 가 존재해서 $a + e = a$ 를 만족한다고 가정하자.

$e$ 는 $1$ 보다 크거나 같은 자연수이므로, $a + e \ge a + 1$ 이 성립한다. 한편 $a + 1 > a$ 이므로, $a + e > a$ 이고 이는 가정에 모순이다.

반증하는 예시가 이처럼 자연스럽다는 것은 항등원의 존재가 썩 당연하지만은 않다는 말도 될 수 있을 것이다.

정방행렬의 집합 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 에 대해, $\left< \mathbb{R}^{n \times n} , \cdot \right>$ 은 모노이드다.

• 행렬곱의 정의에 따라, $\left< \mathbb{R}^{n \times n} , + \right>$ 이 반군이 된다는 것은 쉽게 보일 수 있다. 한편 단위행렬 $I_{n}$ 과 임의의 행렬 $( a_{ij} )$ 를 생각해보면 $a_{ij} \cdot 1 = a_{ij}$ 이고 $a_{ij} \cdot 0 = 0$ 이므로 $(a_{ij}) I = I (a_{ij}) = (a_{ij})$이다. 따라서 $I$ 는 $\left< \mathbb{R}^{n \times n} , \cdot \right>$ 의 항등원이 된다.

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