📂확률론

레비 비행

정의 ^{1 2}

랜덤 워크 $X_{t}$ 의 스텝단위 인크리먼트 $X_{t} - X_{t-1}$ 가 헤비테일을 가진 안정적 분포면 이를 레비 비행^{Lévy flight}이라 한다.

설명

레비 비행은 주로 유클리드 공간에서 점의 이동이 간헐적인 큰 도약을 하는 특성을 가진 확률과정으로써, 브라운 모션이 그냥 확산이라면 레비 비행은 초확산^{superdiffusion}을 나타낸다. 도약은 이상치 같은 개념과는 달리 확률과정 자체에 내재되어 있으며, 철새나 메뚜기떼 같은 생태계의 대이동을 설명하거나 시뮬레이션하는 등의 응용이 있다고 한다.

시뮬레이션

백문이불여일견, 직접 보는 게 가장 이해하기 편할 것이다. 다음은 2차원에서 총 타임스텝 1000을 두고 레비 비행을 직접 시뮬레이션한 것이다.

보다시피 짧은 구간으로 움직이다가도 가끔씩 엄청나게 긴 선분을 남기며 먼 곳으로 도약하는 모습을 볼 수 있다. 반면 다음은 우리가 익히 아는 브라운 모션이다. 시뮬레이션이 끝난 시점에서 이들이 움직인 거리를 체감하려면 좌표의 단위를 보면 된다.

자기유사성 ^{2 3}

레비 비행은 자기유사성을 가진 확률과정으로써 그 트래젝터리는 인크리먼트의 확률분포의 확률밀도함수가 충분히 큰 $x$ 에 대해 다음과 같은 $f$ 로 나타난다고 할 때, 프랙털 차원 $\alpha$ 를 가진다고 한다. $$ f(x) \sim {\frac{ 1 }{ x^{1 + \alpha} }} $$

코드

다음은 줄리아로 작성된 시뮬레이션 코드다.

using Distributions, LinearAlgebra, Plots
default(legend = :none, color = :black, aspect_ratio = 1)
MvCauchy = MvTDist(1, zeros(2), Matrix(I(2)))

tend = 1000
XY1 = cumsum(rand(MvCauchy, tend), dims = 2)
anime1 = @animate for t in 1:tend
    plot(XY1[1, 1:t], XY1[2, 1:t], size = [400, 400])
end
gif(anime1, "levy.mp4")

XY2 = cumsum(randn(2, tend), dims = 2)
anime2 = @animate for t in 1:tend
    plot(XY2[1, 1:t], XY2[2, 1:t], size = [400, 400])
end
gif(anime2, "brownian.mp4")

시뮬레이션에서 주의해야할 것은, 이변량 코시 분포는 다변량 정규분포와 달리 좌표별로 코시 분포를 샘플링하는 게 아니라 다변량 $t$-분포에서 자유도가 1인 경우로 샘플링해야 한다는 점이다.