📂수리통계학

확률론에서 안정적 분포

정의 ¹

암묵적 정의

퇴화 분포가 아닌 확률변수 $X$ 에 대해 $X_{1} , \cdots , X_{n} \overset{\text{iid}}{\sim} X$ 이라고 하자. 모든 $n > 1$ 에 대해 다음을 만족하는 $c_{n} > 0$ 과 $d_{n} \in \mathbb{R}$ 이 존재하는 것과 필요충분조건은 $X$ 가 안정적^stable인 것이다. $$ X_{1} + \cdots + X_{n} \sim c_{n} X + d_{n} $$

명시적 정의

$0 < \alpha \le 2$ 와 $-1 \le \beta \le 1$ 에 대해 확률변수 $Z$ 의 특성함수가 다음과 같다고 하자. $$ \varphi_{Z} (u) = \begin{cases} \exp \left( - \left| u \right|^{\alpha} \left[ 1 - i \beta \sign u \tan \left( \pi \alpha / 2 \right) \right] \right) & , \text{if } \alpha \ne 1 \\ \exp \left( - \left| u \right| \left[ 1 + i \beta \left( 2 / \pi \right) \sign u \log \left| u \right| \right] \right) & , \text{if } \alpha = 1 \end{cases} $$ 이에 대해 $X \sim a Z + b$ 를 만족하는 $a > 0$ 와 $b \in \mathbb{R}$ 이 존재하는 것과 필요충분조건은 $X$ 가 안정적인 것이다. 여기서 명시적 정의라고 언급한 것이 무색하게도, 안정적 분포의 확률밀도함수는 특수한 상황에서만 클로즈드 폼으로 나타난다.

매개변수화

안정적 지표는 네가지 매개변수 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ 와 형태를 의미하는 정수 $k$ 를 포함해서 $S \left( \alpha , \beta , \gamma, \delta ; k \right)$ 로 표기한다. 놀란은 그의 저서에서 위의 명시적 정의 외에 10가지 다른 매개변수화를 소개하며, 안정적 분포를 언급하는 문헌에서는 어떤 매개변수화를 사용하는지 명확히 밝혀야 한다고 당부한다. 그 중에서 두가지만 살펴보자.

• $\alpha \in ( 0 , 2 ]$: 안정성 지수^{index of stability}
• $\beta \in [ -1 , 1 ]$: 왜도^skewness
• $\gamma > 0$: 스케일^scale
• $\delta \in \mathbb{R}$: 위치^location
• $k = 0 , \cdots , 10$: 형태

놀란의 제0형

확률변수 $X$ 가 다음을 만족하면, $X \sim S \left( \alpha , \beta , \gamma, \delta ; 0 \right)$ 이라고 한다. $$ X \sim \begin{cases} \gamma \left( Z - \beta \tan \left( \pi \alpha / 2 \right) \right) & , \text{if } \alpha \ne 1 \\ \gamma Z + \delta & , \text{if } \alpha = 1 \end{cases} $$

놀란의 제1형

확률변수 $X$ 가 다음을 만족하면, $X \sim S \left( \alpha , \beta , \gamma, \delta ; 1 \right)$ 이라고 한다. $$ X \sim \begin{cases} \gamma Z + \delta & , \text{if } \alpha \ne 1 \\ \gamma Z + \left( \delta + \beta \left( 2 / \pi \right) \gamma \log \gamma \right) & , \text{if } \alpha = 1 \end{cases} $$

설명

안정적 분포는 파울 레비^{Paul Lévy}의 이름을 따서 레비 $\alpha$-분포라고도 불린다. 암묵적 정의에서, 안정적 분포가 안정적이라고 불리는 이유는 덧셈에 대해 닫혀 있는 느낌으로 받아들일 수도 있다.

분포 간의 관계에 집중하자면, 안정적 분포는 정규 분포, 코시 분포, 레비 분포의 일반화로써 $\alpha = 2, \beta 0$ 일 때 정규분포, $\alpha = 1, \beta = 0$ 일 때 코시 분포, $\alpha = 1/2, \beta = 1$ 일 때 레비 분포가 된다. 다른 두 분포와 달리 레비 분포는 통계학의 맥락에서 다소 낯설 수 있는데, 인크리먼트 $X_{t+1} - X_{t}$ 가 헤비테일인 안정적 분포를 따르는 확률과정을 레비 비행이라고 부르는 등 레비와 많은 관련이 있다.

일반화된 중심극한정리

안정적 분포에 대한 중심극한정리의 일반화도 있다. $$ a_{n} \left( X_{1} + \cdots + X_{n} \right) - b_{n} \overset{D}{\to} Z $$ $X_{1} , \cdots , X_{n} \overset{\text{iid}}{\sim} X$ 에 대해 위를 만족하는 $a_{n} > 0$ 과 $b_{n} \in \mathbb{R}$ 이 존재하는 것과 필요충분조건은 $X$ 가 어트랙터의 도메인^{domain of attractor} $DA \left( Z \right)$ 에 속하는 것으로써 $DA(Z)$ 를 정의한다.

일반화된 중심극한 정리는 여기서 $Z$ 이 $0 < \alpha \le 2$ 인 안정적 분포라는 것의 필요충분조건이 $X$ 가 $DA(Z)$ 에 속하는 것이라 진술한다.