확률론에서 퇴화 분포
정의
로케이션 $a$ 에 대해 다음과 같은 확률밀도함수를 분포 $\delta_{a}$ 를 퇴화 분포degenerate distribution라 한다1.
$$ f (x) = \lim_{\sigma \to 0} \exp \left( - \frac{(x - a)^{2}}{2 \sigma^{2}} \right) = \delta (x - a) $$ 여기서 첨자가 없는 $\delta$ 는 디랙 델타 함수다.
설명
쉽게 말해 퇴화 분포는 진정한 의미에서 확률분포라 부를 수 없는, 한 점에 모든 확률이 집중되어 랜덤성이 사라지고 사건이 확정되어버린, 일종의 상수함수로 취급되는 확률변수의 분포다.
이는 도박에서 주사위의 눈이 모두 $6$ 인 사기주사위가 $\delta_{6}$ 의 퇴화 분포를 가진다는 식으로 예를 들 수 있겠다. 물론 주사위를 던지는 시행이 있을 것이고, 확률분포라는 걸 형식적으로 설명할 수야 있겠지만 어떻게 던지든 결과는 $6$ 으로 이미 정해져 있다.
퇴화 분포는 주로 안정적 분포의 정의에서 기본적인 전제로써 언급된다.