쌍곡선의 광학적 성질 증명
정리
쌍곡선 위의 한 점 $P$ 과 두 초점 $F_{1}, F_{2}$ 에 대해, $P$ 에서의 접선과 $\overline{PF_{1}}$, $\overline{PF_{2}}$ 과 이루는 각의 크기를 각각 $\alpha$ 와 $\beta$ 라고 하면, $\alpha$ 와 $\beta$ 는 같다.
설명
망원경 응용
증명
많이 찾아봤는데 포물선의 광학적 성질 증명에서 소개한 방법으로 증명하는 게 제일 깔끔하고 그 외에는 신통한 묘수가 없었다. 그나마 지금까지 봤던 대안 중에서는 보조정리를 가장 적게 요구하는 증명을 발견해 빈 내용을 보강했다1.
Part 1.
$$ {\frac{ x^{2} }{ a^{2} }} - {\frac{ y^{2} }{ b^{2} }} = 1 $$ 일반성을 잃지 않고 이 쌍곡선이 위와 같은 방정식으로 표현된다고 하자. 초점의 좌표를 각각 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 에 대해 $F_{1} = (-c, 0)$, $F_{2} = (c, 0)$ 이고 $P = \left( x_{0} , y_{0} \right)$ 라고 하면 $P$ 에서의 접선의 방정식은 $x_{0} x / a^{2} - y_{0} y / b^{2} = 1$ 이고, $y = 0$ 을 대입해 $Q = \left( a^{2} / x_{0} , 0 \right)$ 를 얻을 수 있다. 이에 따르면 $Q$ 에서 초점까지 이르는 길이는 다음과 같다. $$ \begin{align*} \overline{Q F_{1}} =& c + {\frac{ a^{2} }{ x_{0} }} \\ \overline{Q F_{2}} =& c - {\frac{ a^{2} }{ x_{0} }} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \overline{P F_{1}} =& \sqrt{ \left( x_{0} + c \right)^{2} + y_{0}^{2} } \\ \overline{P F_{2}} =& \sqrt{ \left( x_{0} - c \right)^{2} + y_{0}^{2} } \end{align*} $$ $P$ 는 쌍곡선 위의 점이므로 $y_{0}^{2} = \left( b/a \right)^{2} \left( x_{0}^{2} - a^{2} \right)$ 이고, 이를 이용해 선분들의 길이 제곱을 다음과 같이 계산할 수 있다. $$ \begin{align*} & \left( x_{0} \pm c \right)^{2} + y_{0}^{2} \\ =& \left( x_{0} \pm c \right)^{2} + \left( b/a \right)^{2} \left( x_{0}^{2} - a^{2} \right) \\ =& \left( 1 + {\frac{ b^{2} }{ a^{2} }} \right) x_{0}^{2} \pm 2 c x_{0} + c^{2} - b^{2} \\ =& \left( {\frac{ c^{2} }{ a^{2} }} \right) x_{0}^{2} \pm 2 c x_{0} + a^{2} \\ =& \left( {\frac{ c }{ a }} x_{0} \pm a \right)^{2} \\ =& {\frac{ x_{0}^{2} }{ a^{2} }} \left( c \pm {\frac{ a }{ x_{0} }} \right)^{2} \end{align*} $$
제곱으로 묶인 두번째 인자는 $Q$ 에서 초점까지의 거리이므로 그 상수배로 표현된다. $$ \begin{align*} \overline{P F_{1}} =& {\frac{ x_{0} }{ a }} \left( c + {\frac{ a^{2} }{ x_{0} }} \right) = {\frac{ x_{0} }{ a }} \overline{Q F_{1}} \\ \overline{P F_{2}} =& {\frac{ x_{0} }{ a }} \left( c - {\frac{ a^{2} }{ x_{0} }} \right) = {\frac{ x_{0} }{ a }} \overline{Q F_{2}} \end{align*} $$
보통은 여기서 $\overline{PQ}$ 가 각의 이등분선임을 주장하며 증명을 끝내지만, 그러한 보조정리를 사용하지 않는 것이 이 증명의 핵심이다.
Part 2.
우선 $P$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 $Q$ 라고 하고, $F_{1}$ 과 $F_{2}$ 에서 접선에 내린 수선의 발을 각각 $R_{1}$ 과 $R_{2}$ 라고 하면 이렇게 만들어지는 두 삼각형 $\triangle{F_{1}QR_{1}}$ 와 $\triangle{F_{2}QR_{2}}$ 은 닮음이고, 다음을 얻는다. $$ {\frac{ \overline{R_{1} F_{1}} }{ \overline{R_{2} F_{2}} }} = {\frac{ \overline{Q F_{1}} }{ \overline{Q F_{2}} }} $$ Part 1에서 구한 결과에 따라 다음과 같은 등식이 성립한다. $$ {\frac{ \overline{R_{1} F_{1}} }{ \overline{R_{2} F_{2}} }} = {\frac{ \overline{Q F_{1}} }{ \overline{Q F_{2}} }} = {\frac{ \overline{P F_{1}} }{ \overline{P F_{2}} }} $$
Part 3.
두 삼각형 $\triangle{P F_{1} R_{1}}$ 와 $\triangle{P F_{2} R_{2}}$ 는 닮음이고, $\alpha$ 와 $\beta$ 는 같음을 알 수 있다.