타원의 광학적 성질 증명
정리
타원 위의 한 점 $P$ 과 두 초점 $F_{1}, F_{2}$ 에 대해, $P$ 에서의 접선과 $\overline{PF_{1}}$, $\overline{PF_{2}}$ 과 이루는 각의 크기를 각각 $\alpha$ 와 $\beta$ 라고 하면, $\alpha$ 와 $\beta$ 는 같다.
설명
쉽게 말해, 타원의 한 초점에서 나온 빛은 다른 초점으로 모인다는 것이다.
유명한 응용으로는 성 바울 대성당의 회랑이 타원형으로 설계되어 있어 작은 목소리로 속삭여도 다른 쪽 초점에서 들린다는 사례가 있고, 더욱 실용적인 예로는 에너지를 정확한 지점으로 유도할 수 있다는 점을 활용하는 의료용 결석파괴기 등이 있다.
증명
전략: 타원의 광학적 성질은 증명하는 방법이 여러가지가 있지만, 논증기하로 직접연역하거나 좌표를 잡고 직접 계산하는 방법들과 달리 재미있는 증명을 발견해서 소개한다 1. 증명을 이해하기 위한 공부는 학부 이상을 요구하지만 그만큼 깔끔하며 일립소이드와 같이 다차원으로 일반화된 경우에도 통할 것이다. 다만 2차원 평면도형에 대해서는 굳이 이렇게까지 많이 공부해서 증명할 필요가 없을 뿐이다.
타원 위의 점을 $P = P(t)$ 와 같이 매개변수화해서 생각하려 한다. 타원의 정의에 따라 $P$ 와 $F_{1}$ 사이의 거리와 $P$ 와 $F_{2}$ 사이의 거리의 합은 어떤 상수 $C$ 에 대해 다음을 만족시킨다. $$ \left\| P - F_{1} \right\| + \left\| P - F_{2} \right\| = C $$
놈의 미분: 한 점 $\mathbf{a}$ 과 벡터 $\mathbf{x} = \mathbf{x} (t)$ 사이의 거리로써 $l^{2}$-놈 $\left\| \mathbf{x} - \mathbf{a} \right\|$ 의 도함수는 다음과 같다. $$ {\frac{ d \left\| \mathbf{x} - \mathbf{a} \right\| }{ d t }} = \dot{\mathbf{x}} \cdot {\frac{ \mathbf{x} - \mathbf{a} }{ \left\| \mathbf{x} - \mathbf{a} \right\| }} $$
놈의 미분법을 통해 다음을 얻는데, $\dot{P}$ 는 탄젠트, 평면으로 치면 접선의 방향을 나타내는 벡터가 된다. $$ \dot{P} \cdot {\frac{ P - F_{1} }{ \left\| P - F_{1} \right\| }} + \dot{P} \cdot {\frac{ P - F_{2} }{ \left\| P - F_{2} \right\| }} = 0 $$
각도의 정의: 두 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ 에 대해 다음을 만족하는 $\theta$ 를 두 벡터 사이의 각도angle라 정의한다. $$ \cos \theta = {{ \left< \mathbf{u}, \mathbf{v} \right> } \over { \left| \mathbf{u} \right| \left| \mathbf{v} \right| }} $$
우함수의 정의: $f(-x) = f(x)$ 를 만족하는 함수 $f(x)$ 를 우함수even라고 한다.
$$ \begin{align*} & {\frac{ \dot{P} }{ \left\| \dot{P} \right\| }} \cdot {\frac{ P - F_{1} }{ \left\| P - F_{1} \right\| }} + {\frac{ \dot{P} }{ \left\| \dot{P} \right\| }} \cdot {\frac{ P - F_{2} }{ \left\| P - F_{2} \right\| }} = 0 \\ \implies & {\frac{ \left< \dot{P} , P - F_{1} \right> }{ \left\| \dot{P} \right\| \left\| P - F_{1} \right\| }} + {\frac{ \left< \dot{P} , P - F_{2} \right> }{ \left\| \dot{P} \right\| \left\| P - F_{2} \right\| }} = 0 \\ \implies & \cos \left( \alpha \right) + \cos \left( \beta \right) = 0 \\ \implies & \cos \left( \alpha \right) = - \cos \left( \beta \right) \\ \implies & \cos \left( \alpha \right) = \cos \left( \beta \right) \\ \implies & \left| \alpha \right| = \left| \beta \right| \end{align*} $$ 양변의 모든 항에 $\left\| \dot{P} \right\|^{-1}$ 을 곱해보면 이들을 코사인으로 나타낼 수 있고, $\alpha$ 와 $\beta$ 의 크기가 같음을 알 수 있다.
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