평면에서 수선의 발의 좌표 공식 유도
공식
한 점 $P \left( x_{0} , x_{0} \right)$ 에서 직선 $l :y = ax + b$ 에 내린 수선의 발을 $Q$ 라고 하자. $Q$ 의 좌표는 다음과 같다. $$ \left( {\frac{ 1 }{ 1 + a^{2} }} \left[ a^{2} y_{0} + a x_{0} + b \right] , {\frac{ 1 }{ 1 + a^{2} }} \left[ a y_{0} + x_{0} - ab \right] \right) $$
설명
수선의 발foot of the perpendicular이란 직선 $l$ 과 수직이면서 점 $P$ 를 지나는 직선과의 교점을 말한다.
유도
수직인 두 직선의 기울기: 서로 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 항상 $-1$이다.
선분 $\overline{PQ}$ 는 $l$ 과 수직이므로, 그 기울기는 $-1/a$ 이어야 한다. 수선의 발의 좌표를 $Q \left( x_{1} , y_{1} \right)$ 이라고 한다면, 점 $Q$ 는 다음과 같은 연립방정식의 해가 된다. $$ \begin{align} y_{1} &= a x_{1} + b \\ y_{0} - y_{1} &= -\frac{1}{a} \left( x_{0} - x_{1} \right) \end{align} $$ $y_{1}$ 를 소거하기 위해 위아래 등식에 각각 $a$ 를 곱해서 더해보면 $$ \begin{align*} a y_{0} &= a^{2} x_{1} + ab - x_{0} + x_{1} \\ \implies a y_{0} + x_{0} - ab &= \left( 1 + a^{2} \right) x_{1} \end{align*} $$ 을 얻는다. 아래쪽 등식의 양변에 $- a^{2}$ 를 곱하면 $$ a^{2} y_{1} = a^{2} y_{0} + a x_{0} - a x_{1} $$ 을 얻고, 이를 윗쪽 등식과 더하면 다음을 얻는다. $$ \left( 1 + a^{2} \right) y_{1} = a^{2} y_{0} + a x_{0} + b $$
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