📂기하학

논증기하에서 점, 직선, 평면의 정의

정의 ^{1 2}

1. 부분을 가지지 않는 것을 점^point이라 한다.
2. 너비가 없고 길이만 있는 것을 선^line이라 한다. 고르게 놓인 점 위에 있는 선을 직선^{straight line}이라 한다.
3. 길이와 너비가 있는 것을 면^surface이라 한다. 고르게 놓인 직선 위에 있는 면을 평면^{plane surface}이라 한다.

설명

의외로 논증기하학에서 점, 직선, 평면의 정의는 현대적인 관점에서 보았을 때 그다지 엄밀하지 않다. 위의 정의들은 유클리드 공리계에서 따온 것으로, 세가지 도형을 정의하기에 앞서 부분이란, 너비란, 길이란 무엇인지가 언급되어 있지 않다. 놀랍게도 이는 단순히 유클리드가 옛날 사람이기 때문이 아니라 현대에 가까운 힐베르트 공리계나 버코프 공리계에서도 정의 없이 그 개념 자체를 받아들였고, 그래서 이 포스트에서도 그냥 유클리드의 스타일을 따르기로 한 것이다.

보통 수학에서 무엇보다도 중요한 것이 정의인데 이것을 생략한 이유는 아마 따지는 의미 자체가 별로 없었기 때문일 것이다. 예를 들어 우리에게 해석기하적인 언어가 허용된다면 점은 유클리드 공간 $\mathbb{R}^{n}$ 의 한 원소로써, 직선과 평면은 각각 그 방정식을 만족하는 점들의 집합으로써 간단히 정의할 수는 있다. 그러나 이러한 설명을 위해서는 집합론부터 시작되는 긴 빌드업이 필요하며, 논증기하의 시작으로써 다룰 간단한 도형에겐 어울리지 않는다.