📂기하학

버코프 공리계

개요

버코프^Birkhoff는 힐베르트나 유클리드와는 꽤나 다른 느낌으로 유클리드 기하의 공리계를 설명하려 했고, 간결하면서도 강력한 체계를 제시했다. 앞선 거장들과 마찬가지로 점, 선, 거리, 각과 같은 용어는 정의 없이 받아들이고 사용한다.

공리 ¹

$d$ 는 거리다.

정의

1. 만약 $d (A,B) + d (B,C) = d (A,C)$ 이면, 점 $B$ 가 점 $A$ 와 점 $C$ 사이에^between 있다고 한다.
2. 점 $A$, $C$ 와 함께 그 사이에 있는 모든 점 $B$ 들은 선분^{line segment} $\overline{AC}$ 를 이룬다.
3. 종점^endpoint $O$ 와 반직선^half-line $m '$ 은 직선 $m$ 에 있는 두 점 $O$ 와 $A \ne O$ 에 대해 $O$ 가 $A$ 와 $A '$ 사이에 있지 않게 하는 모든 점 $A '$ 의 집합으로써 정의된다.
4. 만약 서로 다른 두 선이 공통의 점을 가지지 않으면, 그들은 평행^parallel하다. 직선은 언제나 스스로에게 평행한 것으로 간주된다.
5. $O$ 를 지나는 두 반직선 $m$ 과 $n$ 이 있다고 하자. $\angle{mOn} = \pm \pi$ 면 평각^{straight angle}을 이룬다 하고, $\angle{mOn} = \pm \pi / 2$ 면 직각^{right angle}을 이룬다고 하며 $m$ 이 $n$ 에 수직^{perpendicular}이라고 한다.
6. 서로 다른 세 점 $A$, $B$, $C$ 가 있다고 하면, 세 선분 $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ 는 변 $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ 과 꼭지점 $A$, $B$, $C$ 를 가지는 삼각형^triangle $\triangle{ABC}$ 을 이룬다. 만약 세 점이 한 직선위에 놓이면, $\triangle{ABC}$ 가 퇴화^degenerate 되었다고 한다.
7. 두 도형이 닮았다^similar는 것은 두 도형의 대응하는 모든 점들의 거리가 비례하고 대응하는 각의 크기가 같은 일대일 대응이 존재한다는 것이다. 두 기하적 도형이 합동^congruent이란 것은 닮았으면서 비례가 $k = 1$ 이라는 것이다.

공준

1. 직선 측도 공준^{postulate of line measurement}: 아무 직선 $m$ 의 점 $A, B, \cdots$ 들은 $\left| r_{B} - r_{A} \right| = d (A,B)$ 가 되게끔 하는 실수 $r_{A}, r_{B}, \cdots$ 와 일대일 대응을 줄 수 있다.
2. 점-직선 공준^{point-line postulate}: 서로 다른 두 점 $P, Q$ 을 포함하는 직선 $m$ 이 유일하게 존재한다.
3. 각 측도 공준^{postulate of angle measurement}: 아무 점 $O$ 를 지나는 반직선 $m , n$ 들은 $A \ne O$ 와 $B \ne O$ 가 각각 $m$ 와 $n$ 의 점이고 $\left( a_{n} - a_{m} \right) \pmod{2 \pi}$ 가 $\angle{AOB}$ 의 크기가 되게끔 실수 $a \pmod{2 \pi}$ 로 일대일 대응시킬 수 있다.
4. 닮음 공준: 삼각형 $\triangle{ABC}$ 와 $\triangle{A ' B ' C'}$ 그리고 어떤 양의 상수 $k$ 에 대해, 만약 $d \left( A ' , B ' \right) = k d \left( A , B \right)$ 이고 $d \left( A ' , C ' \right) = k d \left( A , B \right)$ 이면서 $\angle{BAC} = \pm \angle{B ' A ' C '}$ 이면, $d \left( B ' , C ' \right) = k d \left( B , C \right)$ 이고 $\angle{A ' B ' C '} = \pm \angle{ABC}$ 이면서 $\angle{A ' C ' B '} = \pm \angle{ACB}$ 다.

같이보기

• 유클리드 공리계
• 힐베르트 공리계
• 버코프 공리계