📂기하학

힐베르트 공리계

개요

힐베르트^Hilbert는 기하학의 공리계를 세우기 위해 점, 선, 면, ~ 위에, ~ 사이에, 합동과 같은 용어를 정의하지 않은 채로 받아들이고 5가지 부류로 나뉜 16가지 진술을 남겼다. 특히 연속 공리는 유클리드 기하와 산술 체계의 명확한 관계성을 짚어주었다.

유클리드 기하학에 대한 힐베르트의 진술은 기하학 원론이 가지고 있던 대부분의 문제에 만족스럽게 접근하며, 힐베르트가 살던 시대의 수학계가 꽤나 직관적으로 받아들일 수 있도록 했다. 힐베르트 공리계는 후대의 수학에서 기준이 될 정도의 엄밀성을 가졌다고 한다.

공리 ¹

I. 연결 공리^{Axiom of Incidence}

1. 모든 두 점 $A$ 와 $B$ 에 대해, 각각의 $A$ 와 $B$ 를 포함하는 직선이 존재한다.
2. 모든 두 점 $A$ 와 $B$ 에 대해, 각각의 $A$ 와 $B$ 를 포함하는 직선은 유일하다.
3. 선 위에 적어도 두 개의 점이 존재한다. 선 위에 놓이지 않는 점이 적어도 하나 존재한다.
4. 같은 직선 위에 놓이지 않은 임의의 세 점 $A$, $B$, $C$ 에 대해, 각각의 $A$, $B$, $C$ 를 포함하는 평면 $\alpha$ 가 존재한다. 모든 평면에 대해, 그 평면이 포함하는 점이 존재한다.

II. 순서 공리^{Axiom of Order}

1. 만약 점 $B$ 가 점 $A$ 와 $C$ 사이에 있다면, $A$, $B$, $C$ 는 같은 직선 위에 있는 다른 점이고 $B$ 는 $C$ 와 $A$ 사이에 있다.
2. 임의의 다른 점 $A$ 와 $C$ 에 대해, 직선 $\overleftrightarrow{AC}$ 위에 $C$ 가 $A$ 와 $B$ 사이에 있게끔 하는 점 $B$ 가 적어도 하나 존재한다.
3. 만약 $A$, $B$, $C$ 가 같은 직선 위에 있는 세 점이면, 다른 두 점 사이에 있는 점은 유일하다.
4. $A$, $B$, $C$ 가 같은 직선 위에 있지 않은 세 점이고 $A$, $B$, $C$ 를 포함하는 평면에 있는 직선 $l$ 이 어떤 점 $A$, $B$, $C$ 와도 만나지 않는다고 하자. 만약 $l$ 이 선분 $\overline{AB}$ 의 한 점을 지난다면, $l$ 은 선분 $\overline{AC}$ 의 한 점 혹은 $\overline{BC}$ 의 한 점 역시 자난다.

III. 합동 공리^{Axiom of Congruence}

1. 만약 $A$ 와 $B$ 가 직선 $a$ 에 있는 두 점이고, $A '$ 이 같거나 다른 직선 $a '$ 위의 한 점이라면, $\overline{AB}$ 와 $\overline{A ' B '}$ 이 합동이 되게끔 하는 $\alpha '$ 위의 한 점 $B '$ 를 언제나 찾을 수 있다.
2. 만약 선분 $\overline{A ' B '}$ 와 $\overline{A '' B ''}$ 가 같은 선분 $\overline{AB}$ 와 합동이라면, $\overline{A ' B '}$ 와 $\overline{A '' B ''}$ 는 서로 합동이다.
3. 직선 $a$ 위에서, 선분 $\overline{AB}$ 와 $\overline{BC}$ 가 점 $B$ 를 빼고는 함께 가지는 점이 없다고 하자. 같거나 다른 직선 $a '$ 위에서, 선분 $\overline{A ' B '}$ 와 $\overline{B ' C '}$ 가 점 $B '$ 를 빼고는 함께 가지는 점이 없다고 하자. 이때, 만약 $\overline{AB}$ 와 $\overline{A ' B '}$ 가 합동이고 $\overline{BC}$ 와 $\overline{B ' C '}$ 가 합동이라면, $\overline{AC}$ 와 $\overline{A ' C '}$ 도 합동이다.
4. 만약 $\angle{ABC}$ 이 각이고 $\overrightarrow{B ' C '}$ 가 반직선이라면, 직선 $\overrightarrow{B ' C '}$ 의 각 방향에서 $\angle{A ' B ' C '}$ 가 $\angle{ABC}$ 와 합동이 되게끔 하는 반직선 $\overrightarrow{B ' A '}$ 가 존재한다.
5. 만약 두 삼각형 $\triangle{ABC}$ 와 $\triangle{A ' B ' C '}$ 에 대해 $\overline{AB} \cong \overline{A ' B '}$, $\overline{AC} \cong \overline{A ' C '}$, $\angle{BAC} \cong \angle{B ' A ' C '}$ 라면, $\angle{ABC}$ 와 $\angle{A ' B ' C '}$ 는 합동이다.

IV. 평행 공리^{Axiom of Parallels}

직선 $a$ 위에 있지 않은 한 점을 $A$ 라 하자. 그러면 $a$ 와 $A$ 를 포함하는 평면에서 $A$ 를 지나면서 $a$ 와는 만나지 않은 직선은 많아도 하나만 존재한다.

V. 연속 공리^{Axiom of Continuity}

1. 아르키메데스의 공리^{Archimedes’ Axiom}: 만약 $\overline{AB}$ 와 $\overline{CD}$ 가 선분이라면, $A$ 에서 $\overline{CD}$ 의 복사본을 $n$번 연장해서 $\overrightarrow{AB}$ 와 나란히 두었을 때 $B$ 를 넘어서게끔 하는 수 $n$ 이 존재한다.
2. 직선 완비성의 공리^{Axiom of Line Completeness}: 이미 존재하는 직선 위의 점들을 연장해서 만들어지고, 원래 집합의 순서와 합동 관계를 유지하는 직선이 공리 I-III와 V-1를 따르는 것은 불가능하다.

설명

한 눈에도 알 수 있는 것은, 전반적으로 기호를 전혀 사용하지 않는 유클리드 공리계에 비해서는 현대적이며 훨씬 읽기 편하다는 점이다.

• 평행 공리에서 눈에 띄는 것은 유클리드 공리계에서 언급되지 않던 ‘평면’이라는 제한이 붙었다는 것이다.
• 아르키메데스의 공리는 반갑게도 해석학에서 아르키메데스의 원리에 대한 진술이 기하학의 용어로 적힌 것으로 볼 수 있다.
• 직선 완비성의 공리는 직선이 그 자체로 완비되어있다는 의미로써, 이미 직선은 이미 충분히 많은 점을 가지고 있음에도 더 많은 점을 추가해서 더 큰 직선 같은 걸 만드는 게 불가능하다는 의미다.

같이보기

• 유클리드 공리계
• 힐베르트 공리계
• 버코프 공리계