📂기하학

유클리드 공리계

개요 ¹

유클리드^Euclid는 그의 저서인 기하학 원론^{Elements of Geometry}에서 23가지 정의^definition와 5가지 공준^postulate, 5가지 통념^{common notion}을 제시했다.

공리

정의는 원문과는 약간 다르게 정리했는데, 실제로는 정확히 23가지 개념을 정의한 것이 아니라 ‘규칙’에 가까운 것이 섞여 있기 때문이다. 예를 들어 “(3) 선의 양 끝은 점이다"는 무언가를 정의했다기보다는 선이라는 것에 대한 부가적인 설명에 가깝다.

정의

(1) 부분을 가지지 않는 것을 점^point이라 한다.

선

(2) 너비가 없고 길이만 있는 것을 선^line이라 한다. (3) 선의 양 끝은 점이다. (4) 고르게 놓인 점 위에 있는 선을 직선^{straight line}이라 한다.

면

(5) 길이와 너비가 있는 것을 면^surface이라 한다. (6) 면의 끝은 선이다. (7) 고르게 놓인 직선 위에 있는 면을 평면^{plane surface}이라 한다.

각

(8) 같은 직선 위에 놓여있지 않은 두 선이 만날 때 그 기울기를 평면각^{plane angle}이라 한다. (9) 선들의 각이 곧게 뻗어있으면 곧은각^rectilinear이라 한다. (10) 다른 두 직선이 만든 각이 서로 같으면 직각^{right angle}이라 하고, 한 직선이 다른 직선에 수직^{perpendicular}이라 한다. (11) 직각보다 큰 것을 둔각^{obtuse angle}이라 한다. (12) 직각보다 작은 것을 예각^{acute angle}이라 한다.

도형

(13) 어떤 것의 끝을 경계^boundary라 한다. (14) 경계에 포함되는 것을 도형^figure이라 한다.

원

(15) 한 점으로부터 직선으로 뻗어나갔을 때 같은 거리의 점을 지나는 선 하나를 원주^{circumference}라 하고, 원주를 포함되는 평면도형을 원^circle이라 한다. (16) 그 한 점을 중심^center이라 한다. (17) 중심에서 그려진 직선이 원에서 끝나는 것을 지름^diameter이라 한다. 이는 원을 반으로 가른다. (18) 반원^semi-circle은 지름과 지름으로 잘린 원주에 포함되는 도형이다.

다각형

(19) 직선들에 포함된 도형을 직선도형^{rectilinear figure}이라 한다. 직선이 셋이면 삼자도형^{trilateral figure}, 넷이면 사자도형^{quadrilateral figure}, 넷보다 많으면 다자도형^{multilateral figure}이라 한다.

• 이들은 이제부터 삼각형, 사각형, 다각형이라 하겠다.

(20) 삼각형의 모든 변이 같으면 정삼각형^{equilateral triangle}, 두 변이 같으면 이등변삼각형^{isosceles triangle}, 세 변이 모두 다르면 부등변삼각형^{scalene triangle}이라 한다. (21) 삼각형이 직각을 가지면 직각삼각형^{right-angled triangle}, 둔각을 가지면 둔각삼각형^{obtuse-angled triangle}, 세 개의 예각을 가지면 예각삼각형^{acute-angled triangle}이라 한다.

(22) 사각형의 네 각이 모두 같고 변의 길이가 같으면 정사각형^square, 네 각이 모두 직각이지만 변의 길이가 다르면 직사각형^rectangle, 네 각이 직각은 아니지만 변의 길이가 같으면 마름모^rhombus, 마주보는 각의 크기가 같으면 평행사변형^rhomboid이라 한다.

평행선

(23) 같은 평면 위에서 각 방향으로 무한히 연장해도 만나지 않는 직선들을 평행선^{parallel lines}이라 한다.

공준

1. 한 점에서 다른 점으로 직선을 그릴 수 있다.
2. 직선을 따라 무한히 뻗어갈 수 있다.
3. 어떤 중심과 반지름을 가지든 원을 그릴 수 있다.
4. 모든 직각은 서로 같다.
5. 두 직선이 교차할 때, 두 각의 합이 두 직각보다 작으면 무한히 연장했을 때 그 쪽에서 만난다.

통념

1. 같은 것들끼리는 같다.
2. 같은 것에 같은 것을 더하면 같다.
3. 같은 것에 같은 것을 빼면 같다.
4. 서로 일치하는 것들은 서로 같다.
5. 전체는 부분보다 크다.

설명

이는 어디까지나 참고로만 봐야 한다. 지금에 와서는 ‘선분’이 직선을 뜻하게 되기도 했고, 현대적인 관점으로는 잘못되거나 엄밀하지 못한 내용이 있을 수 있다. 예를 들어 ‘전체는 부분보다 크다’는 ‘전체는 부분보다 크거나 같다’는 식이 더 타당한 식인데, 조금 거슬리는 게 있어도 그냥 그러려니 넘어가면 된다.

비유클리드 기하

다섯번째 공준은 이른바 플레이페어 공리^{Playfair’s axiom}라 불리기도 한다.

플레이페어 공리: 직선 $l$ 과 그 밖에 있는 점 $p$ 에 대해, $l$ 과 평행하고 $p$ 를 지나는 직선 $m$ 이 유일하게 존재한다 ².

유클리드의 시대부터 거의 2000년간 수학자들은 이 공준을 의심하고 다른 공준으로부터의 유도를 시도했는데, 공준이 의심스럽다는 것은 ‘굳이 공준으로 두지 않아도 정리로써 진술할 수 있을 것 같다’는 의미다. 이 논란의 터닝 포인트는 17세기 경 비유클리드 기하의 선구자인 사케리^Saccheri로써, 이 공준을 부정하고 유클리드 기하에 뿌리를 둔 수학자들에게 있어서는 꽤나 잘못된 것처럼 보이는 결과들을 증명할 수 있었다.

직관적인 예시로 보자면, 플레이페어 공리는 평면 상에서는 공준으로써 필요하지만 위와 같이 특정한 곡면을 가정할 경우 사실이 아닐 수도 있다.

같이보기

• 유클리드 공리계
• 힐베르트 공리계
• 버코프 공리계