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수학에서 일반성을 잃지 않는다는 표현

용어 ¹

“일반성을 잃지 않고^{Without Loss of Generality, WLOG} $P$ 를 가정한다"라는 표현은 주로 수학적인 증명에서 ‘구체적으로는 $P$ 를 가정하더라도 전체적인 논증에서는 영향을 미치지 않는다’는 의미로 사용된다.

예시

쉬운 예시

아주 간단한 예로써, “두 실수 $x, y$ 에 대해 $xy = 0$ 이면 $x = 0$ 이거나 $y = 0$ 이다“라는 명제를 증명한다고 생각해보자. 이는 어디까지나 WLOG가 왜 필요하고 어떻게 쓰이는지를 파악하기 위한 예시이므로 최대한 생략없이 설명해보겠다.

$x$ 와 $y$ 는 각각 $0$ 인가 $0$ 이 아닌가로 각자 두가지 경우의 수가 있고, 전체 경우의 수는 그 곱인 $4$ 가지가 있다. 모든 경우의 수를 살펴보자.

Case 1. $x = y = 0$

이 경우 $x$ 와 $y$ 모두 $0$ 이다.

Case 2. $x = 0, y \ne 0$

이 경우 $x$ 가 $0$ 이다.

Case 3. $x \ne 0, y = 0$

이 경우 $y$ 가 $0$ 이다.

Case 4. $x \ne 0, y \ne 0$

$xy = 0$ 의 양변을 $xy$ 로 나누면 $1 = 0$ 이 된다. 이는 $x \ne 0, y \ne 0$ 이라는 케이스에 문제가 있다는 것이므로 이 경우를 배제해야 한다.

결론적으로, $xy = 0$ 이면 $x = 0$ 이거나 $y = 0$ 이어야 한다.

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이 짧은 증명에서 우리는 본능적으로 Case 2와 Case 3이 사실 같은 조건임을 느낄 수 있다. $x$ 나 $y$ 나 똑같은 실수고 곱하는 순서가 중요하지도 않은 상황에서, 단지 문자를 다르게 적었다는 이유로 이러한 경우의 수를 따로 나누는 것은 무의미하다. 이 때 ‘일반성을 잃지 않고 $x = 0$, $y \ne 0$ 이라 가정한다’라고 한다면 그건 그 때의 논리를 $x$ 와 $y$ 를 바꿔서 적용하기만 하면 된다는 의미가 된다.

• 아직 수학에 익숙하지 않아 ‘일반성을 잃지 않고’라는 말이 무슨 뜻인지 궁금한 사람에게 정보를 전달하려는 포스트의 목적 상 귀류법이니 체 공리에서 $x$ 와 $y$ 가 모두 $0$ 이 아니므로 곱셈의 역원이 어쩌고 하는 이야기는 모두 생략했다.

자주 볼 수 있는 예시

교과서에서 더 쉽게 볼 수 있는 예시로써 다음과 같은 것을 생각해볼 수 있다.

• 일반성을 잃지 않고, $A$ 가 상삼각행렬이라 가정한다: 이후에 이어질 증명이 $A$ 가 하삼각행렬이어도 똑같을 것이라는 뜻이다.
• 일반성을 잃지 않고, 삼각형의 세 변의 길이가 $a \le b \le c$ 라고 가정한다: 이후에 이어질 증명이 $a, b, c$ 의 순서를 바꿔도 똑같을 것이라는 뜻이다.
• 일반성을 잃지 않고, $\left\| \mathbf{v} \right\| = 1$ 이라고 가정한다: 증명의 편의상 벡터의 크기가 $1$ 이라고 두고, 만약 크기가 $1$ 이 아니라도 $\mathbf{u} = \mathbf{v} / \left\| \mathbf{v} \right\|$ 와 같이 나누면 되므로 문제가 없다는 뜻이다.