📂통계적검정

프리드만 Fr 검정

가설검정 ^{1 2}

실험 설계 상 $k$ 개의 처리와 $b$ 개의 블럭이 있어서 $n = bk$ 개의 표본을 얻었다고 하자. $j = 1 , \cdots , k$ 번째 처리의 표본이 각자 독립적이고 랜덤하게 같은 로케이션 패밀리에서 샘플링되었고, $j$번째 모집단의 모중위수를 $\theta_{j}$ 라 가정하자. $\theta_{1} , \cdots , \theta_{k}$ 에 대한 다음의 가설검정을 프리드만 $F_{r}$ 검정^{Friedman $F_{r}$ test}이라고 한다.

• $H_{0}$: $\theta_{1} = \cdots = \theta_{k}$
• $H_{1}$: 적어도 하나의 $\theta_{j}$ 는 다른 중위수와 다르다.

검정통계량

검정통계량은 $j$번째 모집단에서 얻은 표본의 순위의 합^rank-sum $R_{j}$ 에 대해 다음과 같다. $$ F_{r} = {\frac{ 12 }{ bk \left( k + 1 \right) }} \sum_{j=1}^{k} R_{j}^{2} - 3 b \left( k + 1 \right) $$ 이 검정통계량은 $b$ 나 $k$ 가 $5$ 보다 클 때 근사적으로 자유도가 $k-1$ 인 카이제곱분포 $\chi^{2} \left( k - 1 \right)$ 를 따른다.

설명

프리드만 검정은 모수적인 기법 중에서는 이원분산분석에 해당하는 비모수적 기법으로써, 일원분산분석에 대응되는 크루스칼-월리스 검정과의 관계와 유사하다. 유의수준 $\alpha$ 에 대해 기각역의 하한 $\chi^{2}_{1-\alpha} (k-1)$ 과 비교해서 $H > \chi^{2}_{1-\alpha} (k-1)$ 이면 귀무가설을 기각해서 적어도 하나의 모집단이 다른 모집단과 다르다고 결론내린다.

수식적으로 일원분산분석을 이해하면 이원분산분석도 이해할 수 있듯, 이 기괴한 통계량 $F_{r}$ 의 유도과정을 이해하려면 크루스칼-월리스 $H$ 검정의 이론적인 배경을 공부하는 것으로 충분하다.

같이보기

실험설계	모수적 기법	비모수적 기법
완전랜덤화설계	일원분산분석	크루스칼-월리스 $H$ 검정
랜덤화블럭설계	이원분산분석	프리드만 $F_{r}$ 검정