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영의 부등식 증명

정리

$\displaystyle {{1} \over {p}} + {{1} \over {q}} = 1$ 을 만족하고 1보다 큰 두 상수 $p,q$와 두 양수 $a,b$ 에 대해

$$ab \le { {a^{p}} \over {p} } + {{b^{q}} \over {q}}$$

설명

대수적으로 모양이 아름다운 점을 빼면 횔더 부등식을 증명하는 것 외엔 크게 언급되지 않는 부등식이다.

증명

$a$와 $b$ 모두 양수이므로 $a = e^A, b = e^B$ 를 만족하는 실수 $A,B$ 가 존재한다.

볼록함수의 이계도함수

$f$ 가 $I$ 에서 두 번 미분가능하다고 하자. $f$ 가 $I$에서 convex 와 $f '' (x) >0$은 필요충분조건이다.

한편 $e^x>0$ 이므로 이계도함수 역시 항상 양수고, 따라서 $\mathbb{R}$에서 convex다.

옌센의 부등식

$I \subset \mathbb{R}$ 에서 컨벡스 $f : I \to \mathbb{R}$ 와 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} = 1, \lambda_{k}>0$ 에 대해 $f( \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} + \cdots + \lambda_{n} x_{n} ) \le \lambda_{1} f( x_{1}) + \lambda_{2} f( x_{2}) + \cdots + \lambda_{n} f( x_{n} )$

옌센의 부등식에 의해,

$$e^{{{1} \over {p}} p A + {{1}\over {q}} q B} \le {{1} \over {p}} e^{pA} + {{1} \over {q}} e^{qB}$$

정리하면 $$e^{A+B} \le {{1} \over {p}} (e^{A})^p +{{1} \over {q}} (e^{B})^q$$

$a = e^A, b = e^B$ 였으므로

$$ab \le { {a^{p}} \over {p} } + {{b^{q}} \over {q}}$$

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