행렬 A 가 양의 준정부호라는 것은 모든 벡터x∈Rn 에 대해 xTAx≥0 이라는 것이므로 표준기저벡터x=e1,⋯,en 에 대해서도 이차형식이 0 보다 크거나 같아야 한다는 것이다. eiTAei≥0 이므로, A 의 모든 주대각성분 (A)ii 역시 0 보다 크거나 같아야 한다.
이제 A 가 A∈Rn×n 이면서 대칭행렬이라 가정하고, 어떤 실수 x 와 인덱스 j=i 에 대해 x:=ei+xej 라 두자. 만약 aii=0 가 0 이라면, xTAx≥0 이므로 다음이 성립한다.
====≥xTAx(ei+xej)TA(ei+xej)eiTAei+xeiTAej+xejTAei+x2ejTAejaii+xaij+xaji+x2ajj2xaij+x2ajj0
근의 공식: 이차방정식 ax2+bx+c=0 (단, a=0)에 대해
x=2a−b±b2−4ac
A 가 양의 준정부호 행렬이라 가정했으므로 ajj≥0 이다. 2xaij+x2ajj≥0 이라는 것은 이차함수 f(x)=ajjx2+2aijx 의 그래프인 아래로 볼록한 포물선이 x-축과 닿지 않거나 한 점에서만 만난다는 것, 다시 말해 판별식으로 보았을 때 b2−4ac≤0 이라는 것이다. f 를 판별식에 대입해보면 다음과 같다.
(2aij)2−4⋅ajj⋅0≤0
이에 따르면 4aij2≤0 를 만족하는 경우는 aij=0 뿐이다. 이는 j 의 선택에 무관하게 성립하므로 ai1=⋯=ain=0 이고, A 는 대칭행렬이므로 a1i=⋯=ani=0 이기도 하다.