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정부호 행렬 주대각성분의 성질 📂행렬대수

정부호 행렬 주대각성분의 성질

정리

정부호 행렬 A=(aij)Cn×nA = \left( a_{ij} \right) \in \mathbb{C}^{n \times n} 가 주어져 있다고 하자.

주대각성분의 부호

AA주대각성분 aiia_{ii} 의 부호는 AA 의 부호와 같다.

  • AA 가 양의 정부호면 aii>0a_{ii} > 0
  • AA 가 양의 준정부호면 aii0a_{ii} \ge 0
  • AA 가 음의 정부호면 aii<0a_{ii} < 0
  • AA 가 음의 준정부호면 aii0a_{ii} \le 0

대칭 실수행렬에서 00 인 주대각성분

실수로 이루어진 준정부호 행렬 ARn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n}대칭행렬이라고 하자. AA 의 주대각성분 aiia_{ii}00 이면 ii번째 행과 열은 영벡터다.

설명

이 성질은 호그-크레이그 정리의 증명에 쓰인다.

증명

일반성을 잃지 않고, AA 가 양의 준정부호라 가정하자.

행렬 AA 가 양의 준정부호라는 것은 모든 벡터 xRn\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} 에 대해 xTAx0\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} \ge 0 이라는 것이므로 표준기저벡터 x=e1,,enx = \mathbf{e}_{1} , \cdots , \mathbf{e}_{n} 에 대해서도 이차형식00 보다 크거나 같아야 한다는 것이다. eiTAei0\mathbf{e}_{i}^{T} A \mathbf{e}_{i} \ge 0 이므로, AA 의 모든 주대각성분 (A)ii\left( A \right)_{ii} 역시 00 보다 크거나 같아야 한다.


이제 AAARn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n} 이면서 대칭행렬이라 가정하고, 어떤 실수 xx 와 인덱스 jij \ne i 에 대해 x:=ei+xej\mathbf{x} := \mathbf{e}_{i} + x \mathbf{e}_{j} 라 두자. 만약 aii=0a_{ii} = 000 이라면, xTAx0\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} \ge 0 이므로 다음이 성립한다. xTAx=(ei+xej)TA(ei+xej)=eiTAei+xeiTAej+xejTAei+x2ejTAej=aii+xaij+xaji+x2ajj=2xaij+x2ajj0 \begin{align*} & \mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} \\ =& \left( \mathbf{e}_{i} + x \mathbf{e}_{j} \right)^{T} A \left( \mathbf{e}_{i} + x \mathbf{e}_{j} \right) \\ =& \mathbf{e}_{i}^{T} A \mathbf{e}_{i} + x \mathbf{e}_{i}^{T} A \mathbf{e}_{j} + x \mathbf{e}_{j}^{T} A \mathbf{e}_{i} + x^{2} \mathbf{e}_{j}^{T} A \mathbf{e}_{j} \\ =& a_{ii} + x a_{ij} + x a_{ji} + x^{2} a_{jj} \\ =& 2 x a_{ij} + x^{2} a_{jj} \\ \ge & 0 \end{align*}

근의 공식: 이차방정식 ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0 (단, a0a\neq 0)에 대해 x=b±b24ac2a x=\dfrac{ -b\pm \sqrt { b^{2}-4ac } }{2a}

AA 가 양의 준정부호 행렬이라 가정했으므로 ajj0a_{jj} \ge 0 이다. 2xaij+x2ajj02 x a_{ij} + x^{2} a_{jj} \ge 0 이라는 것은 이차함수 f(x)=ajjx2+2aijxf(x) = a_{jj} x^{2} + 2 a_{ij} x 의 그래프인 아래로 볼록한 포물선xx-축과 닿지 않거나 한 점에서만 만난다는 것, 다시 말해 판별식으로 보았을 때 b24ac0b^{2} - 4ac \le 0 이라는 것이다. ff 를 판별식에 대입해보면 다음과 같다. (2aij)24ajj00 \left( 2 a_{ij} \right)^{2} - 4 \cdot a_{jj} \cdot 0 \le 0 이에 따르면 4aij204 a_{ij}^{2} \le 0 를 만족하는 경우는 aij=0a_{ij} = 0 뿐이다. 이는 jj 의 선택에 무관하게 성립하므로 ai1==ain=0a_{i1} = \cdots = a_{in} = 0 이고, AA 는 대칭행렬이므로 a1i==ani=0a_{1i} = \cdots = a_{ni} = 0 이기도 하다.