📂행렬대수

대각화가능한 행렬 거듭제곱의 대각합은 고유값의 거듭제곱의 합과 같음을 증명

정리

대각화가능한 행렬 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 와 자연수 $k \in \mathbb{N}$ 가 주어져 있다고 하자. $A$ 의 고유값을 $\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n}$ 이라고 하면 다음이 성립한다. $$\operatorname{tr} A^{k} = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{k}$$ 여기서 $\operatorname{tr}$ 은 트레이스다.

설명

따름정리라고 할만큼은 아니지만, $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 이 대칭행렬인 경우 $A^{2}$ 의 대각합은 $A$ 의 성분별 제곱의 합과 같다는 점이 유용하다. $$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}^{2} = \operatorname{tr} A A^{T} = \tr A^{2} = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{2}$$ 실제로 이 사실은 크레이그 정리의 증명에 쓰인다.

증명 ¹

유니터리 행렬 $Q$ 와 대각행렬 $\diag \left( \lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n} \right)$ 에 대해 $A = Q \Lambda Q^{\ast}$ 라 두자.

대각합의 순환 성질: $$\operatorname{tr} (ABC) = \operatorname{tr} (BCA) = \operatorname{tr} (CAB)$$

$$\begin{align*} \operatorname{tr} A^{k} =& \operatorname{tr} Q \Lambda Q^{\ast} \cdots Q \Lambda Q^{\ast} \\ =& \operatorname{tr} Q \Lambda^{k} Q^{\ast} \\ =& \operatorname{tr} Q^{\ast} Q \Lambda^{k} \\ =& \operatorname{tr} I \Lambda^{k} \\ =& \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{k} \end{align*}$$

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