📂행렬대수

멱등행렬의 고유값은 0이거나 1임을 증명

정리

멱등행렬의 고유값은 $0$ 또는 $1$ 뿐이다.

설명

이 보조정리는 정규분포 랜덤벡터 이차형식의 카이제곱성의 동치조건의 증명에서 쓰인다.

이 정리의 역이 성립하려면 주어진 멱등행렬이 실수행렬이면서 대칭행렬이어야 한다.

증명 ¹

$A$ 가 멱등행렬, 다시 말해 $A^{2} = A$ 라고 하자. $\lambda$ 와 $x$ 를 각각 $A$ 의 고유값, 고유벡터라고 하면 $$ A^{2} x = A \lambda x = \lambda A x = \lambda^{2} x $$ 이고 $Ax = \lambda x$ 인데 $A^{2} x = A x$ 이므로 $\lambda^{2} x = \lambda x$ 를 얻는다. $x$ 를 고유벡터라 했으니 영벡터는 아니고, $\lambda^{2} x - \lambda x = \mathbf{0}$ 에서 $\lambda^{2} - \lambda = 0$ 을 얻는다.

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