logo

멱등행렬의 고유값은 0이거나 1임을 증명 📂행렬대수

멱등행렬의 고유값은 0이거나 1임을 증명

정리

멱등행렬고유값00 또는 11 뿐이다.

설명

이 보조정리는 정규분포 랜덤벡터 이차형식의 카이제곱성의 동치조건의 증명에서 쓰인다.

이 정리의 역이 성립하려면 주어진 멱등행렬이 실수행렬이면서 대칭행렬이어야 한다.

증명 1

AA 가 멱등행렬, 다시 말해 A2=AA^{2} = A 라고 하자. λ\lambdaxx 를 각각 AA고유값, 고유벡터라고 하면 A2x=Aλx=λAx=λ2x A^{2} x = A \lambda x = \lambda A x = \lambda^{2} x 이고 Ax=λxAx = \lambda x 인데 A2x=AxA^{2} x = A x 이므로 λ2x=λx\lambda^{2} x = \lambda x 를 얻는다. xx 를 고유벡터라 했으니 영벡터는 아니고, λ2xλx=0\lambda^{2} x - \lambda x = \mathbf{0} 에서 λ2λ=0\lambda^{2} - \lambda = 0 을 얻는다.


  1. duncan, If AA is idempotent, then the eigenvalues of AA are 00 or 11, URL (version: 2017-05-27): https://math.stackexchange.com/q/2298933 ↩︎