📂행렬대수

퇴플리츠 행렬

정의

행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 의 성분 $\left( A \right)_{ij}$ 가 모든 $i, j$ 에 대해 $\left( A \right)_{i, j} = \left( A \right)_{i+1, j+1}$ 를 만족하면 $A$ 를 퇴플리츠 행렬^{Toeplitz matrix}라 한다. 다시 말해, 퇴플리츠 행렬이란 다음과 같이 특정 대각선의 성분들이 모두 같은 행렬이다. $$ A = \begin{bmatrix} a_{0} & a_{-1} & a_{-2} & \cdots & a_{-n+1} \\ a_{1} & a_{0} & a_{-1} & \cdots & a_{-n+2} \\ a_{2} & a_{1} & a_{0} & \cdots & a_{-n+3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m-1} & a_{m-2} & a_{m-3} & \cdots & a_{0} \end{bmatrix} $$

설명

퇴플리츠 행렬은 그 자체로 대각행렬의 일반화면서 삼중대각행렬로 수치해석이나 최적화에 빈번하게 등장한다.

• 디리클레 경계 조건이 주어진 열방정식에 대한 초기값 문제의 수치해석적 풀이
• $\ell_{1}$ 트렌드 필터링

위 예시들에서 볼 수 있듯 다음과 같이 유한 차분을 반영한 행렬은 무척 유용하다. $$ D = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & & & \\ & 1 & -2 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} $$