📂함수

디감마함수: 감마함수의 도함수와 역수의 곱

정의

로그 감마함수의 도함수를 디감마 함수^{digamma function}라 한다.

$$ \psi_{0} (z) := \dfrac{d}{dz} \ln \Gamma (z) = \dfrac{\Gamma^{\prime}(z)}{\Gamma (z)} $$

정리

감마함수 $\Gamma$ 과 오일러-마스케로니 상수 $\gamma$ 대해 다음이 성립한다. $$ {{ \Gamma ' (z) } \over { \Gamma (z) }} = - \gamma + \sum_{n=1}^{\infty} \left( {{ 1 } \over { n }} - {{ 1 } \over { z + n - 1 }} \right) $$

증명 ¹

감마함수에 대한 바이어슈트라스의 무한곱: 감마함수 $\Gamma : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ {1 \over \Gamma (x)} = x e^{\gamma x } \lim_{n \to \infty} \prod_{k=1}^{n} \left( 1 + {x \over k} \right) e^{- {x \over k} } $$

바이어슈트라스 무한곱 표현의 역수를 취하면 다음을 얻는다. $$ \Gamma (z) = {{ e^{-\gamma z} } \over { z }} \prod_{n=1}^{n} {{ e^{z/n} } \over { 1 + z/n }} $$ 곱의 미분법에 따라 $$ \begin{align*} & \Gamma ' (z) \\ =& - {{ e^{-\gamma z} \left( 1 + \gamma z \right) } \over { z^{2} }} \prod_{n=1}^{n} {{ e^{z/n} } \over { 1 + z/n }} + {{ e^{-\gamma z} } \over { z }} \sum_{n=1}^{\infty} \left[ {{ z } \over { n \left( z + n \right) }} \prod_{k=1}^{\infty} {{ e^{z/k} } \over { 1 + z/k }} \right] \\ =& - {{ e^{-\gamma z} \left( 1 + \gamma z \right) } \over { z^{2} }} {{ z } \over { e^{-\gamma z} }} \Gamma (z) + {{ e^{-\gamma z} } \over { z }} \sum_{n=1}^{\infty} \left[ {{ z } \over { n \left( z + n \right) }} {{ z } \over { e^{-\gamma z} }} \Gamma (z) \right] \\ =& - {{ 1 + \gamma z } \over { z }} \Gamma (z) + \Gamma (z) \sum_{n=1}^{\infty} \left[ {{ z } \over { n \left( z + n \right) }} \right] \end{align*} $$ 이고, 양변을 $\Gamma (z)$ 로 나누면 $$ \begin{align*} {{ \Gamma ' (z) } \over { \Gamma (z) }} =& - {{ 1 + \gamma z } \over { z }} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ {{ z } \over { n \left( z + n \right) }} \right] \\ =& - \gamma - {{ 1 } \over { z }} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ {{ 1 } \over { n }} - {{ 1 } \over { z + n }} \right] \\ =& - \gamma + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ {{ 1 } \over { n }} - {{ 1 } \over { z + n - 1 }} \right] \end{align*} $$ 이 성립한다.

■