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양정부호 행렬의 역행렬과 제곱근 행렬 📂행렬대수

양정부호 행렬의 역행렬과 제곱근 행렬

공식 1

양의 정부호 행렬 AA 의 고유쌍 {(λk,ek)}k=1n\left\{ \left( \lambda_{k} , e_{k} \right) \right\}_{k=1}^{n} 이 λ1>⋯>λn>0\lambda_{1} > \cdots > \lambda_{n} > 0 순으로 정렬되어 있다고 하자. 직교행렬 P=[e1⋯en]∈Rn×nP = \begin{bmatrix} e_{1} & \cdots & e_{n} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times n} 와 대각행렬 Λ=diag⁡(λ1,⋯ ,λn)\Lambda = \diag \left( \lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n} \right) 에 대해 AA 의 역행렬 A−1A^{-1} 과 제곱근 행렬 A\sqrt{A} 은 다음과 같다. A−1=PΛ−1PT=∑k=1n1λkekekTA=PΛPT=∑k=1nλkekekT \begin{align*} A^{-1} =& P \Lambda^{-1} P^{T} = \sum_{k=1}^{n} {{ 1 } \over { \lambda_{k} }} e_{k} e_{k}^{T} \\ \sqrt{A} =& P \sqrt{\Lambda} P^{T} = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\lambda_{k}} e_{k} e_{k}^{T} \end{align*}

유도

스펙트럴 분해:

스펙트럴 이론: AA 가 에르미트 행렬인 것과 유니터리 대각화 가능한 것은 동치다: A=A∗  ⟺  A=QΛQ∗ A = A^{\ast} \iff A = Q \Lambda Q^{\ast}

특히 통계학에서, 공분산행렬은 양의 정부호 행렬인 경우가 많고 정부호 행렬은 에르미트행렬이다. 꼭 공분산 행렬이 아니라도 디자인 매트릭스 XX 에 대해 XTXX^{T} X 는 대칭행렬, 특히 X∈Rm×nX \in \mathbb{R}^{m \times n} 이면 또 다시 에르미트행렬이 된다. 이런 조건 하에서 AA 는 스펙트럴 이론에 따라 정규직교 고유벡터 e1,⋯ ,ene_{1} , \cdots , e_{n} 들로 이루어진 QQ 를 얻을 수 있고, 다시 적어보면 다음과 같다. A=QΛQ∗=Q[λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯λn][e1∗e2∗⋮en∗]=[e1e2⋯en][λ1e1∗λ2e2∗⋮λnen∗]=λ1e1e1∗+λ2e2e2∗+⋯+λnenen∗=∑k=1nλkekek∗ \begin{align*} & A \\ = & Q \Lambda Q^{\ast} \\ = & Q \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_{1}^{\ast} \\ e_{2}^{\ast} \\ \vdots \\ e_{n}^{\ast} \end{bmatrix} \\ = & \begin{bmatrix} e_{1} & e_{2} & \cdots & e_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_{1} e_{1}^{\ast} \\ \lambda_{2} e_{2}^{\ast} \\ \vdots \\ \lambda_{n} e_{n}^{\ast} \end{bmatrix} \\ = & \lambda_{1} e_{1} e_{1}^{\ast} + \lambda_{2} e_{2} e_{2}^{\ast} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} e_{n}^{\ast} \\ = & \sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} e_{k} e_{k}^{\ast} \end{align*}

Λ\Lambda 가 대각행렬이라 특별히 유도랄 것도 없다. PP 가 직교행렬이므로 A−1=(PΛPT)−1=P−TΛ−1P−1=PΛ−1PT \begin{align*} A^{-1} =& \left( P \Lambda P^{T} \right)^{-1} \\ =& P^{-T} \Lambda^{-1} P^{-1} \\ =& P \Lambda^{-1} P^{T} \end{align*} 이고, 항등행렬 II 에 대해서 다음과 같은 검산으로 A\sqrt{A} 를 얻는다. (PΛPT)(PΛPT)=PΛPTPΛPT=PΛIΛPT=PΛΛPT=PΛPT=A \begin{align*} & \left( P \sqrt{\Lambda} P^{T} \right) \left( P \sqrt{\Lambda} P^{T} \right) \\ =& P \sqrt{\Lambda} P^{T} P \sqrt{\Lambda} P^{T} \\ =& P \sqrt{\Lambda} I \sqrt{\Lambda} P^{T} \\ =& P \sqrt{\Lambda} \sqrt{\Lambda} P^{T} \\ =& P \Lambda P^{T} \\ =& A \end{align*}

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  1. Johnson. (2013). Applied Multivariate Statistical Analysis(6th Edition): p104. ↩︎