📂동역학

슬로우-패스트 시스템

정의 ¹

슬로우-패스트 시스템

유클리드 공간의 열린 부분집합 $W \subset \mathbb{R}^{m + n}$ 의 원소가 $\left( \mathbf{x}, \mathbf{y} \right)$ 와 같이 나타난다고 하자. $k \in \mathbb{N}$ 인 $C^{k}$ 클래스에 속하는 두 함수 $\mathbf{f} : W \times [0,1] \to \mathbb{R}^{m}$ 와 $\mathbf{g} : W \times [0,1] \to \mathbb{R}^{n}$ 와 $t = \xi \tau$ 가 되게끔 주어진 $\xi \in (0,1)$ 에 대해서, $$ \begin{align*} {{ d \mathbf{x} } \over { d \tau }} =& \mathbf{f} \left( \mathbf{x} , \mathbf{y} , \xi \right) \\ {{ d \mathbf{y} } \over { d \tau }} =& \xi \mathbf{g} \left( \mathbf{x} , \mathbf{y} , \xi \right) \end{align*} $$ 을 패스트 시스템, $$ \begin{align*} \xi {{ d \mathbf{x} } \over { d t }} =& \mathbf{f} \left( \mathbf{x} , \mathbf{y} , \xi \right) \\ {{ d \mathbf{y} } \over { d t }} =& \mathbf{g} \left( \mathbf{x} , \mathbf{y} , \xi \right) \end{align*} $$ 을 슬로우 시스템이라 한다. 이러한 커플드 다이내믹 시스템을 $(m,n)$-슬로우-패스트 시스템^{slow-fast system}이라 한다.

레이어 시스템

패스트 시스템에서 $\xi \to 0$ 을 취해서 얻는 다음의 시스템을 레이어 시스템^{layer system}이라 한다. $$ \begin{align*} {{ d \mathbf{x} } \over { d \tau }} =& \mathbf{f} \left( \mathbf{x} , \mathbf{y} , 0 \right) \\ {{ d \mathbf{y} } \over { d \tau }} =& 0 \end{align*} $$

리듀스드 시스템

슬로우 시스템에서 $\xi \to 0$ 을 취해서 얻는 다음의 시스템을 리듀스드 시스템^{reduced system}이라 한다. $$ \begin{align*} 0 =& \mathbf{f} \left( \mathbf{x} , \mathbf{y} , 0 \right) \\ {{ d \mathbf{y} } \over { d t }} =& \mathbf{g} \left( \mathbf{x} , \mathbf{y} , 0 \right) \end{align*} $$

설명

슬로우-패스트 시스템은 정의에서 직관적으로 알 수 있듯 확실한 커플링이 있는 하나의 시스템이되 시간의 흐름이 두 종류인 다이내믹 시스템이다.