📂선형대수

이차 형식이 0이 되는 필요충분조건

정리

행렬 폼

$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 는 행렬을 나타내고 $\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n}$ 는 벡터를 나타낸다고 하자.

모든 $\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n}$ 에 대해 이차형식 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x}$ 이 $0$ 이 되는 필요충분조건은 $A$ 가 영행렬인 것이다: $$\mathbf{x}^{*} A \mathbf{x} = 0 , \forall \mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n} \iff A = O$$

선형변환 폼

$\left( V, \mathbb{C} \right)$ 가 유한차원 복소내적공간이라고 할 때, $T : V \to V$ 는 선형변환을 나타내고 $v \in V$ 는 벡터를 나타낸다고 하자.

모든 $v \in V$ 에 대해 이차형식 $\left< T v , v \right>$ 가 $0$ 이 되는 필요충분조건은 $T$ 가 영변환 $T_{0}$ 인 것이다: $$\left< T v , v \right> = 0 , \forall v \in V \iff T = T_{0}$$

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• $X^{\ast}$ 는 $X$ 의 켤레전치행렬이다.
• $\left< \cdot , \cdot \right>$ 는 내적이다.

증명

두가지 폼 모두 증명이 본질적으로 같기 때문에 레퍼런스에 없는 행렬 폼에 대해서만 보인다¹.

$(\implies)$

$A \ne O$ 이라고 가정하고 귀류법을 쓰자.

$\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = 0$ 가 성립한다는 것은 양변에 아무 스칼라 $\overline{\lambda} \in \mathbb{C}$ 를 곱해도 $\overline{\lambda} \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = 0$ 이라는 것이다. 이게 모든 $\mathbf{x}$ 에 대해 성립한다는 것은 $\lambda$ 가 $A$ 의 고유값이고 $\mathbf{x}$ 가 그에 대응되는 고유벡터라고 할 때도 성립한다는 것이고, 행렬내적으로 나타냈을 때 $$\begin{align*} & 0 \\ =& \overline{\lambda} \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} \\ =& \left( \lambda \mathbf{x} \right)^{\ast} \left( A \mathbf{x} \right) \\ =& \left( \lambda \mathbf{x} \right) \cdot \left( \lambda \mathbf{x} \right) \end{align*}$$ 이므로 내적의 정부호성 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{0} \iff \mathbf{v} = \mathbf{0}$ 에 따라 $A$ 의 모든 고유값은 $0$ 이어야 한다.

멱영행렬과 고유값: 정방행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 의 모든 고유값이 $0$ 인 것과 $A$ 가 멱영행렬인 것은 동치다.

다시 말해, $A$ 는 멱영행렬이다. 한편 $A \ne O$ 이라면 영벡터가 아닌 어떤 $\mathbf{y} \ne 0$ 에 대해 $\mathbf{y} = A \mathbf{x}$ 을 만족하는 벡터 $\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n}$ 가 적어도 하나 존재해야 한다. 앞서 $A$ 는 멱영행렬임을 보였으므로, 일반성을 잃지 않고 $A \mathbf{y} = \mathbf{0}$ 이라고 하면 $$\begin{align*} & 0 \\ =& \left( \mathbf{x} + \mathbf{y} \right)^{\ast} A \left( \mathbf{x} + \mathbf{y} \right) & \because 0 = \mathbf{z}^{\ast} A \mathbf{z}, \forall \mathbf{z} \in \mathbb{C}^{n} \\ =& \left( \mathbf{x} + \mathbf{y} \right)^{\ast} \left( A \mathbf{x} + A \mathbf{y} \right) \\ =& \left( \mathbf{x} + \mathbf{y} \right)^{\ast} \left( \mathbf{y} + \mathbf{0} \right) \\ =& \left( \mathbf{x}^{\ast} + \mathbf{y}^{\ast} \right) \mathbf{y} \\ =& \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{y} + \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{y} \\ =& \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} + \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{y} & \because \mathbf{y} = A \mathbf{x} \implies \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{y} = \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} \\ =& 0 + \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{y} \end{align*}$$ 이다. 즉 $\mathbf{y} \cdot \mathbf{y} = 0$ 이라는 건데, 다시 한 번 내적의 정부호성에 따라 $\mathbf{y} = 0$ 이어야 하나 이는 $\mathbf{y} \ne 0$ 이라는 $\mathbf{y}$ 정의에 모순이다. 결론적으로, $A = O$ 을 얻는다.

$(\impliedby)$

자명하다.

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