📂동역학

동역학에서의 조각마다 스무스한 시스템

정의

피스와이즈 스무스 시스템

상태공간이 $\mathbb{R}^{n}$ 인 동역학계가 변수 $x \in \mathbb{R}^{n}$ 와 파라미터 $\mu \in \mathbb{R}^{p}$ 에 대해 다음과 같이 나타난다고 하자. $$ \dot{x} = f \left( x ; \mu \right) \qquad x \in \mathbb{R}^{n} , \mu \in \mathbb{R}^{p} $$ 여기서 유한히 많은 오픈 셋 $S_{k} \subset \mathbb{R}^{n}$ 과 $f$ 가 스무스 함수 $F_{k} : S_{k} \to \mathbb{R}^{n}$ 들에 대해 다음을 만족하면 이 시스템을 조각마다 스무스한 시스템^{PWS, PieceWise Smooth system}이라 한다. $$ f \left( x , \mu \right) = F_{k} \left( x , \mu \right) \qquad \forall (x,\mu) \in S_{k} \subset \mathbb{R}^{n} $$ $S_{i}$ 와 $S_{j}$ 사이의 영역 $\Sigma_{ij}$ 은 $(n-1)$차원 미분다양체라 가정하고, $F$ 는 암묵적으로 엄밀한 의미의 함수가 아닌 다가사상 일 수 있다.

스무스한 정도

충분히 스무스한 $F_{i}$ 와 $F_{j}$ 에 대해 $$ F_{i}^{(k)} - F_{j}^{(k)} = {{ d^{k} } \over { d x^{k} }} F_{i} - {{ d^{k} } \over { d x^{k} }} F_{j} $$ 를 생각해보자. 어떤 정수 $d \ge 0$ 가 있어서 $0 \le k < d$ 를 만족하는 모든 $k$ 에 대해 $\left( F_{i}^{(k)} - F_{j}^{(k)} \right)$ 가 $\Sigma_{ij}$ 에서 연속 함수고 $\left( F_{i}^{(d)} - F_{j}^{(d)} \right)$ 가 연속이 아니면 $d$ 를 $\Sigma_{ij}$ 에서의 스무스한 정도^{degree of smoothness}라 한다.

설명 ¹

다이내믹스의 많은 이론들은 상미분방정식의 역사와 함께 해오면서 스무스한 함수에 대해 많이 발전해왔지만, (특히 컨트롤^control에 관련된) 실전적 응용을 하다보면 그런 틀은 깨지게 마련이다. PWS는 본격적인 넌스무스 시스템을 탐구하기에 앞서서 일종의 과도기적인 모습을 보여주는데, 수학적으로야 정의가 다소 엄밀하지 않을지라도 그 표현이 꽤 명료하고 전달력 자체에는 문제가 없어서 그냥 그렇게 쓰는 편이다. 유명한 예로써 다음과 같이 표현되는 DC-DC 벅 컨버터가 있다. $$ \begin{align*} \dot{V} =& - {{ 1 } \over { RC }} V + {{ I } \over { C }} \\ \dot{I} =& - {{ V } \over { L }} + \begin{cases} 0 & , \text{if } V \ge V_{r} (t) \\ E / L & , \text{if } V < V_{r} (t) \end{cases} \\ V_{r} (t) =& \gamma + \eta \left( t \mod T \right) \end{align*} $$ 이 시스템은 딱 봐도 넌스무스한 시스템이고, 그 와중에 이것이 PWS의 정의에 부합하는가…하는 말장난은 사실 그닥 중요한 게 아닌 것이다.

스무스한 정도

보통 차수로 번역되는 Degree지만, 여기서는 스무스한 정도라는 표현이 거의 그 개념과 일치한다. 쉽게 말해 $\dot{x} = f(x)$ 를 몇번 더 미분해야 불연속한 점이 생기는지를 설명한다고 보면 된다. 참고문헌에서는 $$ \dot{x} = - \sign x $$ 의 $\Sigma_{12} = \left\{ x = 0 \right\}$ 에서 $d = 0$ 이고 $$ \dot{x} = - \left| x \right| $$ 의 $\Sigma_{12} = \left\{ x = 0 \right\}$ 에서 $d = 1$ 이라 한다. 마찬가지로 이런 주장은 부호 함수 $\sign$ 의 정의나 절대값의 미분가능성을 꼼꼼하게 따져서 나온 설명이 아니다. 직관적으로 받아들이고 넘어가자.