📂추상대수

추상대수에서의 미분환

정의

미분환 ¹

$R$ 이 (아벨리안) 링이라 하자. 다음을 만족하는 함수 $d: R \to R$ 을 (대수적) 미분^{algebraic derivation}이라 한다. $$\begin{align*} d \left( x + y \right) =& d (x) + d(y) \\ d \left( x y \right) =& d (x) y + x d(y) \end{align*}$$ 순서쌍 $\left( R, d \right)$ 를 미분환^{differential ring}이라 한다.

상수환 ²

$R$ 이 유니티 $1$ 를 가진다고 하자. 덧셈에 대한 항등원 $0 \in R$ 에 대해 $d (c) = 0$ 를 만족하는 $c \in R$ 의 집합은 $1$ 포함한 $R$ 의 서브 링이며, 상수들의 링이라는 의미에서 상수환^{constant ring}이라 부른다.

설명

미분 대수^{differential Algebra}는 링에 우리가 알던 미분이라는 함수를 주었을 때도 여전히 그 성질들이 추상화되는지, 그 조건은 무엇인지에 관심을 가진다. 당연히 가장 쉬우면서 우리에게 친숙한 예시는 실수 $\mathbb{R}$ 다항함수의 환 $\mathbb{R} [x]$ 일 것이고, 이 때의 미분 $d$ 가 $$d : x^{n} \mapsto n x^{n-1}$$ 와 같이 형식적으로 정의되면 $\left( \mathbb{R}[x] , d \right)$ 는 문과도 고등학교에서 배운 적 있는 미분환이 된다. 이 미분환의 상수환은 $\mathbb{R}$ 이다.

정의에서 특히 $d \left( x y \right) = d (x) y + x d(y)$ 는 이러한 추상화에서 ‘미분’을 미분답게 만들어주는 중요한 조건으로써, 미적분의 고안한 라이프니츠의 이름을 따서 라이프니츠 곱^{Leibniz product}이라 불리기도 한다.

정리

상수 미분

• [1]: $R$ 의 덧셈에 대한 항등원 $0$ 과 상수환의 원소 $c$ 와 $r \in R$ 에 대해 다음이 성립한다. $$\begin{align*} d \left( 0 \right) =& 0 \\ d \left( 1 \right) =& d (c) = 0 \\ d \left( c r \right) =& c d \left( r \right) \end{align*}$$

고차항 미분

• [2] $n \in \mathbb{N}$ 과 $r \in R$ 에 대해 다음이 성립한다. $$d \left( r^{n} \right) = n r^{n-1} d (r)$$

몫 미분

• [3] $R$ 의 유닛 $u$ 과 $r \in R$ 에 대해 다음이 성립한다. $$d \left( r u^{-1} \right) = \left[ d (r) u - r d (u) \right] u^{-2}$$

증명

[1]

$d \left( 0 \right) = 0$ 는 다음과 같이 얻는다. $$\begin{align*} & d (0) = d \left( 0 + 0 \right) = d \left( 0 \right) + d \left( 0 \right) \\ \implies & d (0) = d (0) + d (0) \\ \implies & 0 = d (0) \end{align*}$$

$d \left( 1 \right) = 0$ 는 다음과 같이 얻는다. $$\begin{align*} d (1) =& d \left( 1 \cdot 1 \right) \\ =& d \left( 1 \right) 1 + 1 d \left( 1 \right) \\ =& d \left( 1 \right) + d \left( 1 \right) \\ \implies d(1) = & 0 \end{align*}$$ 한편 상수 $c$ 는 정의에 따라 $d(c) = 0$ 이므로 $d(1) = d(c)$ 다.

$d \left( c r \right) = c d (r)$ 는 다음과 같이 얻는다. $$\begin{align*} d (cr) =& d \left( c \cdot r \right) \\ =& d \left( c \right) r + c d \left( r \right) \\ =& 0 + c d \left( r \right) \end{align*}$$

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[2]

수학적귀납법으로 증명한다. $n = 1$ 일 때 $$d (r) = d ( r \cdot 1 ) = d(r) 1 + r d(1) = d(r) = 1 \cdot r^{1-1} d(r)$$ 이고, 주어진 정리가 성립한다면 $$\begin{align*} d \left( r^{k} \right) =& d \left( r \cdot r^{k-1} \right) \\ =& d \left( r \right) r^{k-1} + r d \left( r^{k-1} \right) \\ =& d \left( r \right) r^{k-1} + r (k-1) r^{k-2} d \left( r \right) \\ =& d \left( r \right) r^{k-1} + (k-1) r^{k-1} d \left( r \right) \\ =& k r^{k-1} d \left( r \right) \end{align*}$$ 이므로 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 주어진 정리가 성립한다.

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[3]

$u$ 가 유닛이라는 것은 그 곱셈에 대한 역원 $u^{-1} \in R$ 가 존재한다는 것이다. $1 = u u^{-1}$ 이라 두면 $$\begin{align*} d \left( 1 \right) =& d \left( u u^{-1} \right) \\ =& d \left( u \right) u^{-1} + u d \left( u^{-1} \right) \\ \implies 0 =& d \left( u \right) u^{-1} + u d \left( u^{-1} \right) \\ \implies u d \left( u^{-1} \right) =& d \left( u \right) u^{-1} \\ \implies d \left( u^{-1} \right) =& d \left( u \right) u^{-2} \end{align*}$$ 이므로 $d \left( u^{-1} \right) = d \left( u \right) u^{-2}$ 이고, 다음을 얻는다. $$\begin{align*} d \left( r u^{-1} \right) =& d \left( r \right) u^{-1} + r d \left( u^{-1} \right) \\ =& d \left( r \right) u u^{-1} u^{-1} + r d \left( u \right) u^{-2} \\ =& \left[ d (r) u - r d (u) \right] u^{-2} \end{align*}$$

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