logo

횔더 부등식 📂선형대수

횔더 부등식

정의

1p+1q=1\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 을 만족하고 1보다 큰 두 상수 p,qp, q 와 u,v∈Cn\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{C}^n에 대해 다음의 부등식이 성립한다.

∣⟨u,v⟩∣=∣u∗v∣≤∣∣u∣∣p∣∣v∣∣q | \left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \right\rangle | = |\mathbf{u} ^{\ast} \mathbf{v}| \le ||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q}

이를 횔더 부등식hoelder’s inequality이라 한다.

설명

원래는 Hölder’s inequality로 써야하지만 움라우트가 있어 대체표기를 했다. pp-놈과 qq-놈이 한 데 섞여있는 것이 경이로운 부등식이다. 용도나 증명 방법 상 크게 관계는 없지만 p=q=2p=q=2 일 때 코시-슈바르츠 부등식이 된다.

증명

u=0\mathbf{u} = \mathbb{0} 혹은 v=0\mathbf{v} = \mathbb{0} 이면 자명하므로 둘 다 0\mathbb{0} 이 아닌 경우를 생각해보자.

영의 부등식

1p+1q=1\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 을 만족하고 1보다 큰 두 상수 p,qp,q와 두 양수 a,ba,b 에 대해

ab≤app+bqq ab \le { {a^{p}} \over {p} } + {{b^{q}} \over {q}}

영의 부등식에 a=∣ui∣∣∣u∣∣p,b=∣vi∣∣∣v∣∣qa = \dfrac{ | u_{i} | }{|| \mathbf{u}||_{p} }, b = \dfrac{ | v_{i} | }{|| \mathbf{v} || _{q} } 을 대입하면 아래의 부등식을 얻는다.

∣uivi∣∣∣u∣∣p∣∣v∣∣q≤1p∣ui∣p∣∣u∣∣pp+1q∣vi∣q∣∣v∣∣qq {{| u_{i} v_{i} |} \over {||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} }} \le {{1} \over {p}} {{ |u_{i}|^{p} } \over {|| \mathbf{u}||_{p}^{p} }} + {{1} \over {q}} {{ |v_{i}|^q } \over {|| \mathbf{v}||_{q}^{q} }}

위 식의 양변에 ∑i=1n\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} 을 취하면 다음과 같다.

∑i=1n∣uivi∣∣∣u∣∣p∣∣v∣∣q≤∑i=1n(1p∣ui∣p∣∣u∣∣pp+1q∣vi∣q∣∣v∣∣qq)  ⟹  ∑i=1n∣uivi∣∣∣u∣∣p∣∣v∣∣q≤1p∑i=1n∣ui∣p∣∣u∣∣pp+1q∑i=1n∣vi∣q∣∣v∣∣qq  ⟹  ∣⟨u,v⟩∣∣∣u∣∣p∣∣v∣∣q≤1p∣∣u∣∣pp∣∣u∣∣pp+1q∣∣v∣∣qq∣∣v∣∣qq=1p+1q=1 \begin{align*} & \sum_{i=1}^{n} \dfrac{| u_{i} v_{i} |}{||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} } \le & \sum_{i = 1}^{n} \left( \dfrac{1}{p} \dfrac{ |u_{i}|^{p} }{|| \mathbf{u}||_{p}^{p} } + \dfrac{1}{q} \dfrac{ |v_{i}|^q }{|| \mathbf{v}||_{q}^{q} } \right) \\ \implies && \dfrac{ \sum_{i=1}^{n} | u_{i} v_{i} |}{||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} } \le & \dfrac{1}{p} \dfrac{ \sum_{i=1}^{n}|u_{i}|^{p} }{|| \mathbf{u}||_{p}^{p} } + \dfrac{1}{q} \dfrac{ \sum_{i=1}^{n}|v_{i}|^q }{|| \mathbf{v}||_{q}^{q} } \\ \implies && \dfrac{ |\left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \right\rangle | }{||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} } \le & \dfrac{1}{p} \dfrac{ || \mathbf{u}||_{p}^{p} }{|| \mathbf{u}||_{p}^{p} } + \dfrac{1}{q} \dfrac{ || \mathbf{v}||_{q}^{q} }{|| \mathbf{v}||_{q}^{q} } = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \end{align*}

세번째 줄은 pp-놈의 정의 (∑i=1n∣ui∣p)1/p=∥u∥p\left( \sum_{i=1}^{n}|u_{i}|^{p} \right)^{1/p} = \left\| \mathbf{u} \right\|_{p} 에 의해 성립한다. 양변에 ∣∣u∣∣p∣∣v∣∣q||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} 를 곱하면 다음과 같다.

∣⟨u,v⟩∣≤∣∣u∣∣p∣∣v∣∣q | \left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \right\rangle | \le ||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q}

■

같이보기