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수학에서 클로즈드 폼이란?

용어 ¹

수학에서 함수의 클로즈드 폼 익스프레션^{closed Form Expression}이란 유한한 횟수의 기호와 사칙연산 $+, -, \cdot, \div$, 그리고 잘 알려진 몇 가지의 함수들만으로 나타낸 것이다. 잘 알려진 함수란 근호 $\sqrt[n]{\cdot}$, 지수함수 $\exp$, 로그 함수 $\log$, 삼각함수 $\sin , \cos$, 팩토리얼 $\cdot !$ 등이 있다. 보통 합 $\sum$, 곱 $\prod$ 나 적분 $\int$, 극한 $\lim$ 등은 포함하지 않는다.

예시

참고 문헌에서의 여섯번째 어프로치^{sixth Approach}에서는 훨씬 더 수학적으로 엄밀한 정의를 세우는 모양이지만, 그렇게까지 알아야할 필요성에는 공감하기 어렵다.

존재하는 경우

무한등비급수를 예로 들면 $|r|<1$ 일 때는 다음과 같이 클로즈드 폼이 존재한다. $$ \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = { a \over {1-r}} $$ 여기서 구체적으로는 우변이 클로즈드 폼이며, 당연히 좌변과 같이 클로즈드 폼이 아닌 표현이 있더라도 클로즈드 폼의 존재성엔 영향을 미치지 못한다. 따라서 우리가 ‘클로즈드 폼이 존재하지 않는다’라고 말하는 것은 보통 ‘클로즈드 폼을 아직 찾지 못했다’라는 의미일 가능성이 높고, 대개 ‘클로즈드 폼이 존재하지 않음을 증명했다’는 아니다.

분명히 부재증명은 존재증명에 비해 훨씬 어려우며, “5차 이상의 방정식은 근의 공식이 존재하지 않는다"는 사실 정도가 널리 알려져 있다. 몇차가 되었든 그 해의 존재성은 대수학의 기본정리에 의해 보장되어 있지만 구체적으로 그 해를 클로즈드 폼으로 나타낼 수는 없는 것이다.

존재하지 않는 경우

미분방정식 중 아주 일부 교과서적인 예제에 대한 솔루션들을 뺀 대부분이 그러하다. 중력 가속도 $G$ 와 질량이 $m_{k}$ 인 체^body 세 개의 위치를 $r_{k}$ 라고 할 때, 다음과 같은 커플드 다이내믹 시스템의 해를 찾는 문제를 삼체문제^{three-body Problem}이라 한다. $$ \begin{align*} \ddot{r_{1}} =& G \left( m_{2} {{ r_{2} - r_{1} } \over { \left| r_{2} - r_{1} \right|^{3} }} + m_{3} {{ r_{3} - r_{1} } \over { \left| r_{3} - r_{1} \right|^{3} }} \right) \\ \ddot{r_{2}} =& G \left( m_{3} {{ r_{3} - r_{2} } \over { \left| r_{2} - r_{2} \right|^{3} }} + m_{1} {{ r_{1} - r_{2} } \over { \left| r_{1} - r_{2} \right|^{3} }} \right) \\ \ddot{r_{3}} =& G \left( m_{1} {{ r_{1} - r_{3} } \over { \left| r_{1} - r_{3} \right|^{3} }} + m_{2} {{ r_{2} - r_{3} } \over { \left| r_{2} - r_{3} \right|^{3} }} \right) \end{align*} $$ 1890년대 푸앙카레^Poincaré는 어떤 유의미한 새 수학이 등장하지 않는 한 이것을 푸는 게 불가능할거라고 생각했지만, 그 예상과 달리 20년도 되지 않아 핀란드의 젊은 수리천문학자 카를 순드만^{karl Sundman}이 당시에 존재하던 수학적 테크닉만을 사용해 무한 급수의 꼴로 문제를 풀어냈다². 문제는 이 급수의 수렴속도가 너무 느리다보니 충분히 납득할만한 기간의 움직임을 계산하기 위해서는 $10^{8000000}$ 개에 비례하는 수의 항을 더해야하고, 이 계산량은 명백히 비현실적이라는 것이다.

이러한 예에서 우리는 클로즈드 폼이 왜 유용한지를 알 수 있는데, 클로즈드 폼이 존재한다는 것은 알고리즘적인 측면에서 해당 함수의 함숫값을 계산하는 시간복잡도가 혁신적으로 떨어지는 것으로 볼 수 있기 때문이다. 이를 그 유명한 가우스의 어릴적 일화로 설명하자면, 등차수열의 합 $$ f(n) = \sum_{k=1}^{n} k $$ 을 구하는 문제에서 보통 사람은 반복 알고리즘으로 접근해서 $1 + 2 + \cdots + n$ 을 $O(n)$ 으로 계산하고 있을 때 가우스는 그 클로즈드 폼인 $$ f(n) = {{ n(n+1) } \over { 2 }} $$ 을 통해 $O(1)$ 의 코스트로 문제를 푼 것이다.