삼차원 유클리드 공간에서 외적이란
정의
$\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^3$ 에 대해 다음을 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$의 외적cross product 으로 정의한다.
$$ \begin{align*} \mathbf{x} \times \mathbf{y} =& (x_{2}y_{3} - x_{3}y_{2}, x_{3}y_{1} - x_{1}y_{3}, x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}) \\ =& \det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} 0 & -x_{3} & x_{2} \\ x_{3} & 0 & -x_{1} \\ -x_{2} & x_{1} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{bmatrix} \end{align*} $$
설명
참고로 $\mathbf{i} = (1,0,0)$ , $ \mathbf{j} = (0,1,0)$ , $\mathbf{k} = (0,0,1)$ 이다. 내적과 마찬가지로 외적 역시 더욱 일반적인 정의는 가능하지만 실용적인 측면에선 삼차원만 고려하는 것이 보통이다. 연산의 결과가 벡터이기 때문에 벡터곱 이라고도 불리며, cross product를 직역한 가위곱이라는 이름도 있다. 외적이라는 이름이 가장 많이 쓰이긴 하나, 이는 outer product와 혼동될 여지가 있다.
| 연산 | 스칼라곱(내적) | 벡터곱(가위곱) | 텐서곱(외적) |
|---|---|---|---|
| 차원 | $n$차원 벡터 | $3$차원 벡터 | $n$차원 벡터 |
| 표기 | $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u}^{\mathsf{T}} \mathbf{v}$ | $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ | $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}$ |
| 결과 | 스칼라 $=1 \times 1$ 행렬 | $3$차원 벡터 | $n \times n$ 행렬 |
| 값 | $\sum_{i} u_{i}v_{i} = u_{1}v_{1} + \cdots + u_{n}v_{n}$ | $\begin{bmatrix} u_{2}v_{3} - u_{3}v_{2} \\ u_{3}v_{1} - u_{1}v_{3} \\ u_{1}v_{2} - u_{2}v_{1} \end{bmatrix}$ | $\begin{bmatrix} u_{1}v_{1} & u_{1}v_{2} & \cdots & u_{1}v_{n} \\ u_{2}v_{1} & u_{2}v_{2} & \cdots & u_{2}v_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_{n}v_{1} & u_{n}v_{2} & \cdots & u_{n}v_{n}\end{bmatrix}$ |
가장 많이 쓰이는 곳은 단연 물리학으로, 토크나 로렌츠 힘 등을 표현할 때 빈번하게 등장하게 된다. 기하학적인 모양새 역시 오른나사 법칙을 떠올리면 쉽게 상상할 수 있다. 외적의 성질 몇가지를 증명 없이 소개하도록 하겠다.
성질
$\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in \mathbb{R}^3$ 와 $k \in \mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.
(1) $\mathbf{x} \times \mathbf{x} = \mathbf{0}$
(2) $\mathbf{x} \times \mathbf{y} = -\mathbf{y} \times \mathbf{x} $
(3) $(k \mathbf{x}) \times \mathbf{y} = k (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = \mathbf{x} \times (k \mathbf{y})$
(4) $\mathbf{x} \times ( \mathbf{y}+ \mathbf{z} )= (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) + (\mathbf{x} \times \mathbf{z})$
(5) 스칼라 삼중곱: $(\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \cdot \mathbf{z} = \mathbf{x} \cdot ( \mathbf{y} \times \mathbf{z})$
(6) 벡터 삼중곱(bac-cab공식): $\mathbf{x} \times ( \mathbf{y} \times \mathbf{z} ) = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z}) \mathbf{y} - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{z} $
(7) $\left\| \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \right\|^{2} = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{x} ) ( \mathbf{y} \cdot \mathbf{y} ) - ( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} )^2$
(8) $\left\| \mathbf{x} \times \mathbf{y} \right\| = \left\| \mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y} \right\| \sin{\theta} $
(9) $\mathbf{x} \times \mathbf{y} \ne \mathbb{0}$ 이면 $\mathbf{x} \times \mathbf{y} $은 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$ 에 수직이다.
(10) 야코비 항등식: $\mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) + \mathbf{z} \times (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) + \mathbf{y} \times (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) = \mathbf{0}$
(2) 를 반대칭성skew symmetry 혹은 반교환성anti commutativity이라 한다.
교환법칙이 성립하지 않아 직관적으로 받아들이기 어려운 성질들이 많다. 문제를 풀고 직접 종이에 써보면서 익숙해지도록 하자.
증명
(10)
bac-cab
성질 (6) 에 의해,
$$ \begin{align*} & \mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) + \mathbf{y} \times (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) + \mathbf{z} \times (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \\ &= (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z}) \mathbf{y} - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{z} + (\mathbf{y} \cdot \mathbf{x}) \mathbf{z} - (\mathbf{y} \cdot \mathbf{z}) \mathbf{x} + (\mathbf{z} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{x} - (\mathbf{z} \cdot \mathbf{x}) \mathbf{y} \\ &= \big[(\mathbf{x} \cdot \mathbf{z}) \mathbf{y} - (\mathbf{z} \cdot \mathbf{x}) \mathbf{y}\big] + \big[- (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{z} + (\mathbf{y} \cdot \mathbf{x}) \mathbf{z}\big] + \big[- (\mathbf{y} \cdot \mathbf{z}) \mathbf{x} + (\mathbf{z} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{x}\big] \\ &= \mathbf{0} \end{align*} $$
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직접계산
$\mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z})$를 계산해보자.
$$ \begin{align*} \mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) &= \begin{bmatrix} 0 & -x_{3} & x_{2} \\ x_{3} & 0 & -x_{1} \\ -x_{2} & x_{1} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -y_{3} & y_{2} \\ y_{3} & 0 & -y_{1} \\ -y_{2} & y_{1} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -x_{3} & x_{2} \\ x_{3} & 0 & -x_{1} \\ -x_{2} & x_{1} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{2}z_{3} - y_{3}z_{2} \\ y_{3}z_{1} - y_{1}z_{3} \\ y_{1}z_{2} - y_{2}z_{1} \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} x_{2}(y_{1}z_{2} - y_{2}z_{1}) - x_{3}(y_{3}z_{1} - y_{1}z_{3}) \\ x_{3}(y_{2}z_{3} - y_{3}z_{2}) - x_{1}(y_{1}z_{2} - y_{2}z_{1}) \\ x_{1}(y_{3}z_{1} - y_{1}z_{3}) - x_{2}(y_{2}z_{3} - y_{3}z_{2}) \end{bmatrix} \\ \end{align*} $$
따라서 다음을 얻는다
$$ \begin{align*} & \mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) + \mathbf{y} \times (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) + \mathbf{z} \times (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \\ &= \begin{bmatrix} {\color{red}x_{2}y_{1}z_{2}} {\color{blue} \ - \ x_{2}y_{2}z_{1}} {\color{green} \ - \ x_{3}y_{3}z_{1}} + {\color{orange}x_{3}y_{1}z_{3}} \\ x_{3}y_{2}z_{3} - x_{3}y_{3}z_{2} - x_{1}y_{1}z_{2} + x_{1}y_{2}z_{1} \\ x_{1}y_{3}z_{1} - x_{1}y_{1}z_{3} - x_{2}y_{2}z_{3} + x_{2}y_{3}z_{2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} {\color{blue}y_{2}z_{1}x_{2}} {\color{magenta} \ - \ y_{2}z_{2}x_{1}} - y_{3}z_{3}x_{1} + {\color{green}y_{3}z_{1}x_{3}} \\ y_{3}z_{2}x_{3} - y_{3}z_{3}x_{2} - y_{1}z_{1}x_{2} + y_{1}z_{2}x_{1} \\ y_{1}z_{3}x_{1} - y_{1}z_{1}x_{3} - y_{2}z_{2}x_{3} + y_{2}z_{3}x_{2} \end{bmatrix} \\ & \qquad + \begin{bmatrix} {\color{magenta}z_{2}x_{1}y_{2}} {\color{red} \ - \ z_{2}x_{2}y_{1}} {\color{orange} \ - \ z_{3}x_{3}y_{1}} + z_{3}x_{1}y_{3} \\ z_{3}x_{2}y_{3} - z_{3}x_{3}y_{2} - z_{1}x_{1}y_{2} + z_{1}x_{2}y_{1} \\ z_{1}x_{3}y_{1} - z_{1}x_{1}y_{3} - z_{2}x_{2}y_{3} + z_{2}x_{3}y_{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{align*} $$
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