유클리드 공간에서 내적이란
정의
벡터공간 $V = \mathbb{R}^n$ 에 대해 $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in V$ 그리고 $k \in \mathbb{R}$ 이라고 하자.
$\left< \cdot , \cdot \right> : V^2 \to \mathbb{R}$ 가 아래 네 조건들을 만족시킬 때 $\left< \cdot , \cdot \right>$ 를 $V$ 상에서의 내적 으로 정의한다.
(1) 대칭성: $\left< \mathbf{x} , \mathbf{y} \right> = \left< \mathbf{y}, \mathbf{x} \right>$
(2) 가산성: $\left< \mathbf{x} + \mathbf{y} , \mathbf{z} \right> = \left< \mathbf{x}, \mathbf{z} \right> + \left< \mathbf{y}, \mathbf{z} \right>$
(3) 동질성: $\left< k \mathbf{x} , \mathbf{y} \right> = k \left< \mathbf{x}, \mathbf{y} \right>$
(4) 정부호: $\left< \mathbf{x} , \mathbf{x} \right> \ge 0$ 그리고 $\left< \mathbf{x} , \mathbf{x} \right> =0 \iff \mathbf{x}=\mathbb{0}$
특히 $\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{n})$ 이고 $\mathbf{y} = (y_{1}, y_{2}, \cdots , y_{n})$ 일 때,
$$ \left< \mathbf{x} , \mathbf{y}\right> = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \cdots + x_{n} y_{n} = \mathbf{x}^T \mathbf{y} $$
를 점적 혹은 유클리드 내적이라 정의한다.
설명
원래 벡터공간 자체가 임의의 체 $\mathbb{F}$ 에 대해 일반화될 수 있는 개념이다. 당연히 내적 또한 일반화가 가능한데, 기초적인 수준의 선형대수에서는 유클리드 공간만을 다루는 것이 보통이다.
그래도 대학교에서 내적을 배우면서 헷갈리는 이유는 고등학교 수준의 내적보다는 충분히 일반화가 되었기 때문이다. 내적 그 자체만 생각했을 때는 조건을 만족시키는 사상이 존재한다면 딱히 성분끼리 곱한다거나 할 이유가 없다. 우선 ‘기존에 알고 있던 내적’이 ‘대학교에서 배우는 내적 중 하나’인 점적이 되는 것부터 차이가 생기는 것이다. 그뿐만 아니라 $n$차원에 대해 일반화가 되며 기하학적인 성질을 잃어 크기나 내각의 정의가 큰 혼동을 가져다줄 수 있다.
- [1]: $\left\| \mathbf{x} \right\| = \sqrt{ \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} }$ 를 $\mathbf{x}$ 의 크기 혹은 길이 로 정의한다.
[2] $d(\mathbf{x}, \mathbf{y} ) = \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|$ 를 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$ 의 거리 로 정의한다.
[3] $\theta \in [0 , \pi]$ 에 대해, $\displaystyle \cos \theta = {{ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} } \over { \left\| \mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y} \right\|}}$ 를 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$ 사이의 내각 으로 정의한다.
[4] $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = 0$ 일 때 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$ 는 수직이라 정의한다.
3차원까지야 직접 계산하고 그려보면서 이러한 정의들이 직관과 일치함을 확인할 수 있지만, 4차원부터는 그게 불가능하다. 하지만 이렇게 현실을 초월하는 일반화야말로 수학의 묘미이자 강점이고, 이러한 정의만으로도 몇몇 정리를 쉽게 일반화 할 수 있다. 아래의 두 예시를 보자.
일반화된 코시-슈바르츠 부등식
$$ \left\| \mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y} \right\| \ge \left< \mathbf{x} , \mathbf{y} \right> $$
코시-슈바르츠 부등식은 본디 네개의 미지수에 대해서 성립하던 부등식이지만, 내적을 이용해 쉽게 일반화 할 수 있다.
증명
임의의 스칼라 $t \in \mathbb{R}$ 에 대해
$$ ( t \mathbf{x} + \mathbf{y} ) ^2 = t^2 (\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}) + 2t (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} )+ ( \mathbf{y} \cdot \mathbf{y} ) $$
$t$ 는 실수이므로 이차방정식의 근의 공식에 의해 $(\mathbf{x} \cdot \mathbf{y})^2 - ( \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} )( \mathbf{y} \cdot \mathbf{y} ) \le 0$ 이어야한다.
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일반화된 피타고라스의 정리
두 벡터 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$가 서로 수직이라고 하면, $\left\| \mathbf{x} \right\|^2 + \left\| \mathbf{y} \right\|^2 = \left\| \mathbf{x} +\mathbf{y} \right\|^2$
피타고라스의 정리 역시 원래는 평면 상의 삼각형에 대해서 성립하는 정리였다. 일반화를 위해서는 한 차원 한 차원 올릴때마다 낮은 차원의 피타고라스 정리를 계속 써야했지만, 내적을 사용하면 훨씬 쉽고 간결하다.
증명
$$ \begin{align*} \left\| \mathbf{x} +\mathbf{y} \right\|^2 =& ( \mathbf{x} + \mathbf{y} ) ^2 \\ =& (\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}) + 2 (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} )+ ( \mathbf{y} \cdot \mathbf{y} ) \\ &= \left\| \mathbf{x} \right\|^2 + 2 (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} ) + \left\| \mathbf{y} \right\|^2 \end{align*} $$
내각의 정의에 의해 $(\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} ) = \cos{\theta} \left\| \mathbf{x} \right\|^2 \left\| \mathbf{y} \right\|^2$이고 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$가 서로 수직이므로 $\cos{\theta} = 0$
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더 일반화된 피타고라스의 정리
$\mathbf{a}_1,\ \mathbf{a}_2,\ \cdots,\ \mathbf{a}_n$이 서로 수직인 벡터라고 하자. 그러면 아래의 식이 성립한다.
$$ \left\| \mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2+\cdots+\mathbf{a}_n \right\|^2 = \left\| \mathbf{a}_1 \right\|^2 + \left\| \mathbf{a}_2 \right\|^2 +\cdots+ \left\| \mathbf{a}_n \right\|^2 $$
위의 정리를 $n$개의 벡터에 대해서 일반화한 것이다.
증명
위에서 정의한 바에 따라서 아래의 식이 성립한다.
$$ \left\| \mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2+\cdots+\mathbf{a}_n \right\| ^2=\left< \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \cdots + \mathbf{a}_n,\ \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2+\cdots+\mathbf{a}_n \right> $$
내적의 가산성에 의해서 위의 내적을 풀면 아래와 같다.
$$ \begin{array} {l} \left< \mathbf{a}_1,\ \mathbf{a}_1 \right>+\left< \mathbf{a}_1,\ \mathbf{a}_2 \right>+\cdots+\left< \mathbf{a}_1,\ \mathbf{a}_n \right> \\ + \left< \mathbf{a}_2,\ \mathbf{a}_1 \right> + \left< \mathbf{a}_2,\ \mathbf{a}_2 \right>+\cdots+\left< \mathbf{a}_2,\ \mathbf{a}_n \right> \\ +\cdots \\ + \left< \mathbf{a}_n,\ \mathbf{a}_1 \right>+\left< \mathbf{a}_n,\ \mathbf{a}_2 \right>+\cdots +\left< \mathbf{a}_n,\ \mathbf{a}_n \right> \end{array} $$
가정에 의해 $\left< \mathbf{a}_i,\ \mathbf{a}_j \right>=\delta_{ij}$이므로 위의 항 중에서 같은 벡터끼리의 내적만 남고 나머지는 값이 $0$이다. 따라서
$$ \begin{align*} \left\| \mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2+\cdots+\mathbf{a}_n \right\|^2 =& \left< \mathbf{a}_1,\ \mathbf{a}_1 \right> + \left< \mathbf{a}_2,\ \mathbf{a}_2 \right>+\cdots+\left< \mathbf{a}_n,\ \mathbf{a}_n \right> \\ =& \left\| \mathbf{a}_1 \right\|^2 + \left\| \mathbf{a}_2 \right\|^2 +\cdots+\left\| \mathbf{a}_n \right\|^2 \end{align*} $$
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