📂행렬대수

행공간, 열공간, 영공간

정의¹

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$

$m \times n$ 행렬 $A$에 대해서, $A$의 행으로 만들어지는 $m$개의 $\mathbb{R}^{n}$ 벡터들

$$ \begin{align*} \mathbf{r}_{1} =& \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \end{bmatrix} \\ \mathbf{r}_{2} =& \begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \end{bmatrix} \\ &\vdots \\ \mathbf{r}_{m} =& \begin{bmatrix} a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \end{align*} $$

을 $A$의 행벡터^{row vectors}라고 한다. $A$의 열로 만들어지는 $n$개의 $\mathbb{R}^{m}$ 벡터들

$$ \mathbf{c}_{1} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix},\quad \mathbf{c}_{2} = \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{bmatrix},\quad \dots,\quad \mathbf{c}_{n} = \begin{bmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix} $$

을 $A$의 열벡터^{column vectors}라고 한다.

$$ \begin{align*} A =& \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \\ \mathbf{r}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{r}_{m} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \mathbf{c}_{1} & \mathbf{c}_{2} & \cdots & \mathbf{c}_{n} \end{bmatrix} \end{align*} $$

$A$의 행벡터 $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2},\dots,\mathbf{r}_{m}$으로 생성되는 $\mathbb{R}^{n}$의 부분공간을 $A$의 행공간^{row space}이라 하고 다음과 같이 표기한다.

$$ \mathcal{R} (A) \quad \text{or} \quad \text{row}(A) $$

$A$의 열벡터 $\mathbf{c}_{1}, \mathbf{c}_{2},\dots,\mathbf{c}_{n}$으로 생성되는 $\mathbb{R}^{m}$의 부분공간을 $A$의 열공간^{column space}이라 하고 다음과 같이 표기한다.

$$ \mathcal{C} (A) \quad \text{or} \quad \text{col}(A) $$

동차 연립 일차 방정식 $A \mathbf{x} =\mathbf{0}$의 해 집합을 $A$의 영공간^{null space}이라 하고 다음과 같이 표기한다.

$$ \mathcal{N}(A) \quad \text{or} \quad \text{null}(A) $$

설명

위와 같은 개념들은 연립 일차 방정식

$$ \begin{equation} A\mathbf{x} = \mathbf{b} \end{equation} $$

를 풀기 위해서 고안되었다. 즉 선형대수학에서는 $(1)$의 해와 $A$의 행공간, 열공간, 영공간의 관계에 대해서 관심을 갖는다. 실제로 행공간의 기저를 구하는 것이 선형 시스템을 푸는 것과 관련이 있다. 특별히 행공간과 열공간의 차원을 랭크라 하고, 영공간의 차원을 무효차수라 한다.

참고로 열공간은 $\operatorname{Im} (A)$, 즉 상^image으로도 불린다. 행렬 $A$를 함수의 개념으로 생각한다면 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$에 대응되는 함수 $T_{A}$는 $T_{A} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$으로도 볼 수 있기 때문이다.

정리1

선형 시스템 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$가 해를 가질 필요충분조건은 $\mathbf{b} \in \mathcal{C}(A)$인 것이다.

정리2

$\mathbf{x}_{0}$가 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$의 어떤 해라고 하자. $S= \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{k} \right\}$를 $\mathcal{N}(A)$의 기저라고하자. 그러면 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$의 모든 해는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \begin{equation} \mathbf{x} = \mathbf{x}_{0} + c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{k}\mathbf{v}_{k} \end{equation} $$

역으로 모든 상수 $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k}$들에 대해서 위의 $\mathbf{x}$ 는 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$의 해이다.

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$(2)$를 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$의 일반해^{general solution}라고 한다. $\mathbf{x}_{0}$를 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$의 특수해^{particular solution}라고 한다. 그리고 $c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{k}\mathbf{v}_{k}$를 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$의 일반해라고 한다.

위 정리로부터 비동차 선형시스템의 일반해는 어떤 특수해와 동차 선형시스템의 일반해의 합으로 나타낼 수 있음을 알 수 있다.

같이보기

추상대수학에서의 핵

영공간은 $\ker A$라 쓰고 핵^kernel으로도 불린다. 이는 추상대수학에서 다루는 일반적인 핵의 개념을 선형대수에서 특수화한 표현인데, 이 역시 $A$를 함수로 본 것이다.