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X'X 의 역행렬이 존재하는 동치조건 📂행렬대수

X'X 의 역행렬이 존재하는 동치조건

정리

행렬 XRm×nX \in \mathbb{R}^{m \times n} 이 주어져 있고 mnm \ge n 라 하면, 다음이 성립한다. (XTX)1    rankX=n \exists \left( X^{T} X \right)^{-1} \iff \text{rank} X = n 다시 말해, XTXX^{T} X역행렬이 존재하는 동치조건XX풀 랭크를 가지는 것이다.


설명

이러한 팩트가 중요한 이유는 다중회귀분석y=Xβ\mathbf{y} = X \beta 같은 과도결정계에는 최소제곱법을 통해 β=(XTX)1XTy \beta = \left( X^{T} X \right)^{-1} X^{T} \mathbf{y} 과 같은 계산을 할 일이 있기 때문… 아니 정말 많기 때문이다. 이 팩트를 모르거나, 알더라도 실제 분석에서는 떠올리지 못해 문제를 겪는 상황도 쉽게 찾아볼 수 있다.

증명 1

(    )(\implies)

XTXRn×nX^{T} X \in \mathbb{R}^{n \times n} 의 역행렬이 존재한다면 rankXTX=n\text{rank} X^{T} X = n 이다. n=rankXTXrankXmin{n,m}n \begin{align*} n =& \text{rank} X^{T} X \\ \le & \text{rank} X \\ \le & \min \left\{ n , m \right\} \\ \le & n \end{align*} 위 부등식이 성립하려면 rankX=n\text{rank} X = n 이어야한다.


(    )(\impliedby)

어떤 uRn\mathbf{u} \in \mathbb{R}^{n} 에 대해 XTXu=0 X^{T} X \mathbf{u} = \mathbf{0} 라 두자. u=0\mathbf{u} = \mathbf{0}(XTX)1\left( X^{T} X \right)^{-1} 가 존재하는 것과 동치이므로, u\mathbf{u}영벡터임을 보일 것이다. Rn\mathbb{R}^{n}내적공간이므로 XTXuX^{T} X \mathbf{u}0\mathbf{0}벡터내적 <,>\left< \cdot , \cdot \right> 을 구해볼 수 있다. 영벡터끼리의 내적이므로 당연히 그 값은 00 이고, 0=<XTXu,u>=(XTXu)Tu=uTXTXu=(Xu)TXu=<Xu,Xu> \begin{align*} 0 =& \left< X^{T} X \mathbf{u} , \mathbf{u} \right> \\ =& \left( X^{T} X \mathbf{u} \right)^{T} \mathbf{u} \\ =& \mathbf{u}^{T} X^{T} X \mathbf{u} \\ =& \left( X \mathbf{u} \right)^{T} X \mathbf{u} \\ =& \left< X \mathbf{u} , X \mathbf{u} \right> \end{align*} 을 얻는다. 이는 곧 Xu=0X \mathbf{u} = \mathbf{0} 인데, XX 가 풀 랭크를 가진다고 가정했으므로 u=0\mathbf{u} = \mathbf{0} 이어야한다.

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