X'X 의 역행렬이 존재하는 동치조건
📂행렬대수X'X 의 역행렬이 존재하는 동치조건
정리
행렬 X∈Rm×n 이 주어져 있고 m≥n 라 하면, 다음이 성립한다.
∃(XTX)−1⟺rankX=n
다시 말해, XTX 의 역행렬이 존재하는 동치조건은 X 가 풀 랭크를 가지는 것이다.
- XT 는 X 의 트랜스포즈다.
설명
이러한 팩트가 중요한 이유는 다중회귀분석의 y=Xβ 같은 과도결정계에는 최소제곱법을 통해
β=(XTX)−1XTy
과 같은 계산을 할 일이 있기 때문… 아니 정말 많기 때문이다. 이 팩트를 모르거나, 알더라도 실제 분석에서는 떠올리지 못해 문제를 겪는 상황도 쉽게 찾아볼 수 있다.
증명
(⟹)
XTX∈Rn×n 의 역행렬이 존재한다면 rankXTX=n 이다.
n=≤≤≤rankXTXrankXmin{n,m}n
위 부등식이 성립하려면 rankX=n 이어야한다.
(⟸)
어떤 u∈Rn 에 대해
XTXu=0
라 두자. u=0 면 (XTX)−1 가 존재하는 것과 동치이므로, u 가 영벡터임을 보일 것이다. Rn 은 내적공간이므로 XTXu 와 0 의 벡터내적 ⟨⋅,⋅⟩ 을 구해볼 수 있다. 영벡터끼리의 내적이므로 당연히 그 값은 0 이고,
0=====⟨XTXu,u⟩(XTXu)TuuTXTXu(Xu)TXu⟨Xu,Xu⟩
을 얻는다. 이는 곧 Xu=0 인데, X 가 풀 랭크를 가진다고 가정했으므로 u=0 이어야한다.
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