비중심 카이제곱분포
정의
자유도 $r > 0$ 과 비중심성non-centrality $\lambda \ge 0$ 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 연속확률분포 $\chi^{2} \left( r , \lambda \right)$ 를 비중심 카이제곱 분포noncentral chi-squared distribution라 한다. $$ f(x) = {{ 1 } \over { 2 }} e^{- \left( x + \lambda \right) / 2 } \left( {{ x } \over { \lambda }} \right)^{k/4 - 1/2} I_{r/2 - 1} \left( \sqrt{\lambda x} \right) \qquad, x \in (0,\infty) $$
- $I_{\nu}$ 는 $\nu$차 변형 제1종 베셀 함수로써, 변형 제1종 베셀 함수가 방향 통계학에 등장하는 이유와는 아무런 상관 없고 그냥 수식적으로 우연히 나타난 것이다1.
설명
비중심 카이제곱분포는 그 이름에서 알 수 있듯 카이제곱분포의 일반화로써, 독립적으로 정규분포를 따르는 확률변수 $$ X_{k} \sim N \left( \mu_{k} , 1^{2} \right) \qquad , k = 1 , \cdots , r $$ 들에 대해 $\lambda = \sum_{k=1}^{r} \mu_{k}^{2}$ 라 둘 때 다음의 $Y$ 같은 의미를 가지고 있다. $$ Y = \sum_{k=1}^{r} X_{k}^{2} \sim \chi^{2} \left( r , \lambda \right) $$ 즉 $\lambda \ne 0$ 는 카이제곱분포 그 자체가 아닌 제곱합이 취해지는 정규분포들의 중심이 $0$ 이 아니라는 의미가 된다.