📂행렬대수

제곱근 행렬

정의 ¹

행렬 $A$ 에 대해 다음을 만족하는 행렬 $B$ 를 $A$ 의 제곱근 행렬^{square root matrix}이라 하고 $\sqrt{A} := B$ 와 같이 나타낸다. $$ B^{2} = A $$

설명

행렬이라는 점에서 제곱근이라는 개념은 조금 더 흥미로워진다. 에를 들어 $$ A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} $$ 와 같은 행렬이 있다면 그 제곱근행렬은 각각의 성분에 제곱근을 취한 $$ \begin{bmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{bmatrix} $$ 이 아니라 다음과 같이 모든 성분이 $1$ 인 행렬이다. $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} $$

상상행렬

진짜 수학의 세계에서 중요한 건 아니지만 생새우초밥집에서는 $-E$ 의 제곱근 행렬, 즉 $$ X^{2} = - E_{p} $$ 을 만족하는 $X$ 를 상상행렬^{imaginary matrix}라 부르고 대해 연구하는 대회를 한 적이 있다.

유일성

일반적으로 제곱근 행렬은 유일하지 않으나, 양정부호 행렬의 경우에는 유일하게 존재한다.