세계선과 갈릴레이 변환
정의
입자의 자취를 시간과 공간에 대해서 나타낸 선을 세계선world line이라 한다.
설명
우선 한 방향으로 등속운동하는 좌표계에 대해서만 생각해보기로하자. $A$좌표계에서 원점에 정지한 입자가 있다.이 입자의 세계선은 아래와 같다.
그리고 $A$좌표계를 기준으로 $+x$방향으로 $v_{0}$의 속도로 이동하는 $A^{\prime}$좌표계가 있다.
같은 입자의 운동을 $A^{\prime}$좌표계에서 관측하면 world line은 아래와 같다.
$A^{\prime}$계가 $x$방향으로만 움직이므로 $y, z$값은 아무런 변화가 없다. 즉 다음과 같다.
$$ \begin{align*} t^{\prime}&= t \\ x^{\prime} &= -v_{0}t \\ y^{\prime} &= 0 \\ z^{\prime} &= 0 \end{align*} $$
입자가 원점이 아닌 임의의 점 $P(x,y,z,)$에 정지해있다고 생각하면 다음과 같다.
$$ \begin{align*} t^{\prime} &= t \\ x^{\prime} &= x-v_{0}t \\ y^{\prime} &= y \\ z^{\prime} &= z \end{align*} $$
그러면 두 좌표계 사이의 시공간에는 다음과 같은 식이 성립하고, 이를 갈릴레이 변환Galilean transformation이라 한다.같다.
$$ \begin{pmatrix} t^{\prime} \\ x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -v_{0} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ x-v_{0}t \\ y \\ z \end{pmatrix} $$
갈릴레이 변환에는 아래와 같은 특징이 있음을 알 수 있다.
- 두 좌표계 사이에서 시간은 절대적이며 변하지 않는다.
- 입자의 속도는 두 좌표계 사이의 속도차이 만큼 차이가 난다.
- 또한 좌표계가 움직이지 않는 방향으로는 속도의 차이가 생기지 않는다. 수식으로 나타내면 아래와 같다. $$ \begin{align*} t^{\prime} &= t \\ v_{x}^{\prime} &= v_{x}-v_{0} \\ v_{y}^{\prime} &= v_{y} \\ v_{z}^{\prime}&= v_{z} \end{align*} $$
같이보기
[로렌츠 변환]
갈릴레이 변환은 상대론의 효과를 고려하지 않은 변환식이다. 빛의 속도에 가깝지 않을 때에는 이러한 근사가 실제와 상당히 잘 맞는다. 반면에 빛의 속도에 가까워질수록 상대론의 효과를 고려해야하며, 이를 반영한 것이 로렌츠 변환이다.