이변량 폰 미제스 분포
📂확률분포론 이변량 폰 미제스 분포 정의 평균 방향 mean Direction μ , ν ∈ R \mu, \nu \in \mathbb{R} μ , ν ∈ R 집중 concentration κ 1 , κ 2 > 0 \kappa_{1}, \kappa_{2} > 0 κ 1 , κ 2 > 0 행렬 A ∈ R 2 × 2 A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} A ∈ R 2 × 2 연속확률분포 vM 2 ( μ , ν , κ 1 , κ 2 ) \text{vM}^{2} \left( \mu , \nu , \kappa_{1} , \kappa_{2} \right) vM 2 ( μ , ν , κ 1 , κ 2 ) 이변량 폰 미제스 분포 bivariate von Mises distribution 라 한다.
exp [ κ 1 cos ( θ − μ ) + κ 2 cos ( ϕ − ν ) + [ cos ( θ − μ ) sin ( θ − μ ) ] A [ cos ( ϕ − ν ) sin ( ϕ − ν ) ] ]
\exp \left[ \kappa_{1} \cos \left( \theta - \mu \right) + \kappa_{2} \cos \left( \phi - \nu \right) + \begin{bmatrix} \cos \left( \theta - \mu \right) & \sin \left( \theta - \mu \right) \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} \cos \left( \phi - \nu \right) \\ \sin \left( \phi - \nu \right) \end{bmatrix} \right]
exp [ κ 1 cos ( θ − μ ) + κ 2 cos ( ϕ − ν ) + [ cos ( θ − μ ) sin ( θ − μ ) ] A [ cos ( ϕ − ν ) sin ( ϕ − ν ) ] ] A = [ α 0 0 β ] A = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix} A = [ α 0 0 β ] exp [ κ 1 cos ( θ − μ ) + κ 2 cos ( ϕ − ν ) + α cos ( θ − μ ) cos ( ϕ − ν ) + β sin ( θ − μ ) sin ( ϕ − ν ) ]
\exp \left[
\begin{align*}
& \kappa_{1} \cos \left( \theta - \mu \right) + \kappa_{2} \cos \left( \phi - \nu \right)
\\ &+ \alpha \cos \left( \theta - \mu \right) \cos \left( \phi - \nu \right)
\\ &+ \beta \sin \left( \theta - \mu \right) \sin \left( \phi - \nu \right)
\end{align*}
\right]
exp κ 1 cos ( θ − μ ) + κ 2 cos ( ϕ − ν ) + α cos ( θ − μ ) cos ( ϕ − ν ) + β sin ( θ − μ ) sin ( ϕ − ν ) 모수 를 줄인 다음의 모델들이 유명하다.
사인 모델 α = 0 \alpha = 0 α = 0 β = λ \beta = \lambda β = λ 사인 모델 sine model 이라 부른다.
f s ( θ , ϕ ) : = c ( κ 1 , κ 2 ) exp [ κ 1 cos ( θ − μ ) + κ 2 cos ( ϕ − ν ) + λ sin ( θ − μ ) sin ( ϕ − ν ) ] , ( θ , ϕ ) ∈ [ 0 , 2 π ] 2
f_{s} \left( \theta , \phi \right) := c \left( \kappa_{1} , \kappa_{2} \right) \exp \left[
\begin{align*}
& \kappa_{1} \cos \left( \theta - \mu \right) + \kappa_{2} \cos \left( \phi - \nu \right)
\\ &+ \lambda \sin \left( \theta - \mu \right) \sin \left( \phi - \nu \right)
\end{align*}
\right] \qquad , \left( \theta , \phi \right) \in \left[ 0, 2 \pi \right]^{2}
f s ( θ , ϕ ) := c ( κ 1 , κ 2 ) exp [ κ 1 cos ( θ − μ ) + κ 2 cos ( ϕ − ν ) + λ sin ( θ − μ ) sin ( ϕ − ν ) ] , ( θ , ϕ ) ∈ [ 0 , 2 π ] 2 c ( κ 1 , κ 2 ) c \left( \kappa_{1} , \kappa_{2} \right) c ( κ 1 , κ 2 ) 정규화 상수 다.
c ( κ 1 , κ 2 ) : = 4 π 2 ∑ m = 1 ∞ ( 2 m m ) ( λ 2 4 κ 1 κ 2 ) m I m ( κ 1 ) I m ( κ 2 )
c \left( \kappa_{1} , \kappa_{2} \right) := 4 \pi^{2} \sum_{m=1}^{\infty} \binom{2m}{m} \left( {{ \lambda^{2} } \over { 4 \kappa_{1} \kappa_{2} }} \right)^{m} I_{m} \left( \kappa_{1} \right) I_{m} \left( \kappa_{2} \right)
c ( κ 1 , κ 2 ) := 4 π 2 m = 1 ∑ ∞ ( m 2 m ) ( 4 κ 1 κ 2 λ 2 ) m I m ( κ 1 ) I m ( κ 2 )
코사인 모델 α = β = − κ 3 \alpha = \beta = - \kappa_{3} α = β = − κ 3 min { κ 1 , κ 2 } ≥ κ 3 ≥ 0 \min \left\{ \kappa_{1} , \kappa_{2} \right\} \ge \kappa_{3} \ge 0 min { κ 1 , κ 2 } ≥ κ 3 ≥ 0 코사인 모델 cosine model 이라 부른다.
f c ( θ , ϕ ) : = c ( κ 1 , κ 2 , κ 3 ) exp [ κ 1 cos ( θ − μ ) + κ 2 cos ( ϕ − ν ) − κ 3 cos ( θ − μ − ϕ + ν ) ] , ( θ , ϕ ) ∈ [ 0 , 2 π ] 2
f_{c} \left( \theta , \phi \right) := c \left( \kappa_{1} , \kappa_{2} , \kappa_{3} \right) \exp \left[
\begin{align*}
& \kappa_{1} \cos \left( \theta - \mu \right) + \kappa_{2} \cos \left( \phi - \nu \right)
\\ &- \kappa_{3} \cos \left( \theta - \mu - \phi + \nu \right)
\end{align*}
\right] \qquad , \left( \theta , \phi \right) \in \left[ 0, 2 \pi \right]^{2}
f c ( θ , ϕ ) := c ( κ 1 , κ 2 , κ 3 ) exp [ κ 1 cos ( θ − μ ) + κ 2 cos ( ϕ − ν ) − κ 3 cos ( θ − μ − ϕ + ν ) ] , ( θ , ϕ ) ∈ [ 0 , 2 π ] 2 c ( κ 1 , κ 2 , κ 3 ) c \left( \kappa_{1} , \kappa_{2} , \kappa_{3} \right) c ( κ 1 , κ 2 , κ 3 ) 정규화 상수 다.
c ( κ 1 , κ 2 , κ 3 ) : = 4 π 2 [ I 0 ( κ 1 ) I 0 ( κ 2 ) I 0 ( κ 3 ) + 2 ∑ p = 1 ∞ I p ( κ 1 ) I p ( κ 2 ) I p ( κ 3 ) ]
c \left( \kappa_{1} , \kappa_{2} , \kappa_{3} \right) := 4 \pi^{2} \left[ I_{0} \left( \kappa_{1} \right) I_{0} \left( \kappa_{2} \right) I_{0} \left( \kappa_{3} \right) + 2 \sum_{p=1}^{\infty} I_{p} \left( \kappa_{1} \right) I_{p} \left( \kappa_{2} \right) I_{p} \left( \kappa_{3} \right) \right]
c ( κ 1 , κ 2 , κ 3 ) := 4 π 2 [ I 0 ( κ 1 ) I 0 ( κ 2 ) I 0 ( κ 3 ) + 2 p = 1 ∑ ∞ I p ( κ 1 ) I p ( κ 2 ) I p ( κ 3 ) ]
설명
폰 미제스 분포 가 단위원 S 1 S^{1} S 1 정규분포 라면 이변량 폰 미제스 분포는 위 그림에서 보는 바와 같이 토러스 S 1 × S 1 S^{1} \times S^{1} S 1 × S 1 정규분포 라 볼 수 있다.
아니 세상에 도너츠를 연구해서 뭘 어쩌겠다고 도대체 이 따위 쓸모없는 걸 보는가 싶겠지만, 실제로는 단백질의 분자구조에서 그들이 어떤 각도로 연결되어있는지 등 생물정보학bioinformatics 과 같은 분야의 응용에서 유사한 모티브를 찾아볼 수 있다.
