상대성이론과 로렌츠 변환
빌드업
상대성이론은 전자기학의 완성에서부터 출발한다. 전자기학을 완성했다는 말은 맥스웰이 전기장 $\mathbf{E}$와 자기장 $\mathbf{B}$에 대한 4개의 편미분 방정식을 완성했다는 말과 같다. 맥스웰 방정식으로부터 전자기파의 속도가 광속과 같다는 점을 알게 되었다. 이로 인해 아래의 두 사실을 얻게 된다.
- 빛은 전자기파이다.
- 빛의 속도는 $\dfrac{1}{\sqrt{\epsilon_o \mu_o}}=300,000 \text{km/s}$이다
그런데 여기에서 고전적인 물리로는 설명할 수 없는 문제가 생긴다.
- 빛은 파동이고 파동은 매질이 필요한데 빛의 매질은 무엇인가?
- 빛의 속력이 왜 상수인가?
이를 설명하기 위해 많은 노력이 있었고 에테르에 관한 이론도 그 중 하나이다(그리스 고대 철학에서의 에테르와는 다른 것이다). 우주 공간을 에테르가 채우고 있다고 가정한다면 에테르가 빛의 매질이 된다. 빛의 속도가 매질인 에테르에 대한 속도라고 하면 속도가 상수인 것 또한 해결된다.
에테르 이론은 그럴 듯 했으나 마이켈슨-몰리Michelson-Morley의 실험으로 우주 공간을 채우는 빛의 매질은 없는 것으로 드러났다. 그리고 마침내 1905년 아인슈타인이 이를 해결하는 ‘상대성이론’ 을 발표한다. 정확히는 특수 상대성이론이다. 후에 일반 상대성이론도 발표한다. ‘특수’ 라는 단어 때문에 특수 상대성이론이 더 특별한 것, 좋은 것이라는 생각을 할 수도 있지만 전혀 반대이다. 특수 상대성이론은 어떤 특수한 상황에서만 적용되는 이론이라는 뜻으로, 모든 상황에대해서 설명할 수 없다.
아인슈타인은 새로운 사실을 기존의 이론에 끼워맞추려하지 않았다. 충격적이게도 아인슈타인은 빛은 진행하는데 매질이 필요하지 않으며 그 속도는 어떤 관찰자에 의해서도 $c=300,000km/s$로 관측된다고 가정하고 시작한다. 즉, 고전물리에서 이상하다고 생각했던 것을 참이라고 받아들이며 시작하는 것이다. 이미 상대성이론을 참이라고 알고 배우는 우리와 달리 그 시대의 물리학자들에게는 그야말로 엄청난 충격이었을 것이다.
빛의 속력이 항상 $c$이려면 고전 물리에서 사용하던 갈릴레이 변환을 사용할 수 없다. 그렇다고 해서 갈릴레이 변환이 완전히 틀린것은 아니다. 운동하는 물체의 속도가 광속에 비해 무시할만 하다면 로렌츠 변환이 갈릴레이 변환에 근사한다. 즉, 갈릴레이 변환은 로렌츠 변환의 특수한 경우에 해당하며 우리가 살고있는 현실세계에서는 아주 잘 들어맞는다.
또한 로렌츠 변환의 이름에 로렌츠Lorentz가 들어가는 이유는 당연하게도 로렌츠가 만들었기 때문이다. 하지만 로렌츠는 상대성이론같은건 알지 못했고 그저 맥스웰방정식에 잘 들어맞는 좌표변환을 만들려고 했다고 한다. 즉, 아인슈타인이 직접 로렌츠 변환을 만든 것은 아니고 로렌츠가 만들어 놓은 것을 보고 상대성이론의 아이디어를 얻었다고 한다.
정의
관성 좌표계 $A$와 이에 대해서 $x$축 방향으로 $v_{0}$의 속도로 움직이는 관성 좌표계 $A^{\prime}$ 사이의 로렌츠 변환은 다음과 같다.
$$ \begin{pmatrix} ct^{\prime} \\ x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma_{0} & -\gamma_{0}\beta_{0} & 0 & 0 \\ -\gamma_{0}\beta_{0} & \gamma_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} $$
이때 $\gamma_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{1-{\beta_{0}}^{2}}}$이고, $\beta_{0} = \dfrac{v_{0}}{c}$이다.
설명
로렌츠 변환으로부터 알 수 있는 사실을 몇 가지 정리해보자.
$A^{\prime}$계의 속도인 $v_{0}$가 빛의 속도인 $c$에 비해 굉장히 작다면 로렌츠 변환은 갈릴레이 변환에 근사한다.우리가 겪는 현실에서 대부분의 경우이다. 이것이 아직도 뉴턴역학을 배우는 이유이다.
로렌츠 인자인 $\gamma_{0}$의 범위는 정의로 부터 $1\le \gamma_{0} \le \infty$이다.$v_{0} \rightarrow 0$일 때 $\gamma_{0}=1$이고 최솟값mininum이다.$v_{0} \rightarrow c$일 때 $\gamma_{0}=\infty$이다.
물체는 빛의 속도인 $c$보다 빠르게 움직일 수 없다. 로렌츠 변환에서 $\gamma_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{{v_{0}}^{2}}{c^{2}}}}$인데 분모를 잘 보면 루트가 포함돼있다. 루트 안의 값은 항상 $0$보다 크거나 같아야하므로
$$ \begin{align*} && 1-\dfrac{{v_{0}}^{2}}{c^{2}} &\ge 0 \\ \implies && c^{2}-{v_{0}}^{2} &\ge 0 \\ \implies && c^{2} &\ge {v_{0}}^{2} \\ \implies && c &\ge v_{0} \end{align*} $$
관성 좌표계 끼리의 상대 속도는 절대 빛의 속도보다 빠를 수 없다. 즉, 빛의 속도보다 빠르게 움직이는 것은 불가능 하다는 얘기이다.