📂확률분포론

폰 미제스 분포

정의 ^{1 2}

평균 방향^{mean Direction} $\mu \in \mathbb{R}$ 과 집중^{concentration} $\kappa > 0$ 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 연속확률분포 $\text{vM} \left( \mu , \kappa \right)$ 를 폰 미제스 분포^{von Mises distribution}라 한다. $$ f(x) = {{ 1 } \over {2 \pi I_{0} \left( \kappa \right) }} \exp \left( \kappa \cos \left( x - \mu \right) \right) \qquad , x \in \mathbb{R} \pmod{2 \pi} $$

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• $I_{\nu}$ 는 $\nu$차 변형 제1종 베셀 함수로써, 이러한 복잡한 함수가 쓰이는 이유는 변형 제1종 베셀 함수가 방향 통계학에 등장하는 이유 포스트를 참고하라.

설명

폰 미제스 분포는 방향 통계학^{directional Statistics}에서 접할 수 있는 가장 간단한 분포로써, 원 $S^{1}$ 위에서 샘플링되는 데이터를 표현한다. 원형정규분포^{circular Normal distribution} 혹은 티호노프 분포^{tikhonov distribution}라 불리기도 하는 모양이다.

수식에서 지수함수 $\exp$ 에서 샘플링될 확률은 $\infty$ 에 가까울수록 높고 $-\infty$ 에 가까울수록 낮아지며, 이는 $\cos \left( x - \mu \right)$ 에 의해 자연스럽게 결정된다. $x \approx \mu$, 즉 평균 방향에 가까운 곳은 $\cos \approx 1$ 이 되어 많이 뽑히고 반대방향의 경우 아주 낮은 확률을 가지게 된다.

집중 $\kappa$ 는 $\kappa = 1 / \sigma^{2}$ 와 같이 산포도의 반대되는 느낌으로써, 높을수록 평균 방향의 확률이 높아지게 된다.

폰 미제스 분포의 일반화로는 차원을 올린 폰 미제스-피셔 분포, 토러스로 확장한 이변량 폰 미제스 분포, 8개의 모수를 사용하는 폰 미제스-빙햄 분포^{fisher-Bingham distribution2}, 거기서 다섯 개의 모수만 사용하는 켄트 분포 등이 알려져 있다.

정리

다음은 폰 미제스 분포가 왜 원형정규분포로 불리는 것이 타당한지에 대한 정리다. $\kappa$ 가 충분히 크다는 가정은 그만큼 $\mu$ 에 가깝게 확률이 쏠려있는 것이고, $S^{1}$ 을 넓게 쓰지 않고 $\mu$ 근방에서만 뽑기 때문에 그 접선 상의 정규분포와 거의 유사해지는 것이다. 다른 표현으로는 LAN(Local Asymptotic Normality)이라고도 한다.

원형정규분포

충분히 큰 $\kappa = \sigma^{-2}$ 에 대해 $f(x)$ 는 정규분포의 확률밀도함수에 근사한다. $$ f(x) \approx {{ 1 } \over { \sigma \sqrt{2 \pi} }} \exp \left[ {{ - \left( x - \mu \right)^{2} } \over { 2 \sigma^{2} }} \right] $$

증명

코사인 함수의 테일러 전개: $$ \cos x = \frac { 1 }{ 0! }-\frac { { x } ^{ 2 } }{ 2! }+\frac { { x } ^{ 4 } }{ 4! }-\frac { { x } ^{ 6 } }{ 6! }+ \cdots $$

$\kappa$ 가 충분히 크다고 가정했으므로 $\mu$ 의 근방에서 코사인의 테일러전개 세번째부터 항을 탈락시키면 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} f(x) = & {{ 1 } \over {2 \pi I_{0} \left( \kappa \right) }} \exp \left( \kappa \cos \left( x - \mu \right) \right) \\ \approx& {{ 1 } \over {2 \pi I_{0} \left( \kappa \right) }} \exp \left( \kappa \left[ 1 - {{ \left( x - \mu \right)^{2} } \over { 2 }} \right] \right) \\ =& {{ 1 } \over {2 \pi I_{0} \left( \kappa \right) }} e^{\kappa} \exp \left( - {{ \left( x - \mu \right)^{2} } \over { 2 \sigma^{2} }}\right) \end{align*} $$

한편 $\pi = 3.141592 \cdots$ 는 $\kappa = 1$ 이라고 쳐도 표준정규분포의 $z_{0.99} = 2.58 \cdots$ 보다 훨씬 크기 때문에 $\kappa$ 가 충분히 크다는 가정하에서는 $I_{0} (\kappa)$ 역시 $$ \begin{align*} 2\pi I_{0} (\kappa) =& \int_{-\pi}^{\pi} \exp \left( \kappa \cos \left( x - \mu \right) \right) dx \\ =& \int_{-\pi}^{\pi} \exp \left( \kappa \cos t \right) dt \\ \approx& \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( \kappa - {{ t^{2} } \over { 2 \sigma^{2} }}\right) dt \\ = & e^{\kappa} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( - {{ t^{2} } \over { 2 \sigma^{2} }}\right) dt \\ = & \sigma \sqrt{2 \pi} e^{\kappa} \int_{-\infty}^{\infty} {{ 1 } \over { \sigma \sqrt{2 \pi} }} \exp \left( - {{ t^{2} } \over { 2 \sigma^{2} }}\right) dt \\ = & \sigma \sqrt{2 \pi} e^{\kappa} \end{align*} $$ 이므로 다음의 근사식을 얻는다. $$ f(x) \approx {{ 1 } \over { \sigma \sqrt{2 \pi} }} \exp \left[ {{ - \left( x - \mu \right)^{2} } \over { 2 \sigma^{2} }} \right] $$

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