📂행렬대수

삼각행렬의 행렬식

정리

삼각행렬의 행렬식은 대각성분의 곱으로 나타난다.

증명 ¹

일반성을 잃지 않고, $A$ 가 상삼각행렬이라고 하자.

$$A := \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$

라플라스 전개: 정사각행렬 $A_{n \times n} = (a_{ij})$ 이 주어져 있다고 하자. 정사각행렬 $A_{n \times n} = (a_{ij})$ 의 $i$번째 행과 $j$ 번째 행을 제거한 행렬의 행렬식 $M_{ij}$ 을 소행렬식, 이에 대해 $C_{ij} := (-1)^{i + j} M_{ij}$ 를 여인자라고 한다. 선택된 $j$열 에 대해 다음이 성립한다. $$\det A = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij}$$

가장 위쪽의 소행렬식 $M_{1j}$ 들을 생각해보면 $j \ne 1$ 인 이상 가장 왼쪽 열이 영벡터이므로 $M_{1j} = 0$ 이어야한다. 라플라스 전개에 따라, 재귀적으로 다음을 얻는다. $$\begin{align*} \det A =& \det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \\ =& a_{11} \det \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ 0 & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \\ =& a_{11} a_{22} \det \begin{bmatrix} a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \\ =& \prod_{i=1}^{n} a_{ii} \end{align*}$$

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