여인자와 고전수반행렬
정의
정사각행렬 $A_{n \times n} = (a_{ij})$ 이 주어져 있다고 하자.
- $A$ 의 $i$번째 행과 $j$ 번째 행을 제거한 행렬의 행렬식 $M_{ij}$ 을 소행렬식minor이라고 한다.
- $C_{ij} := (-1)^{i + j} M_{ij}$ 를 여인자cofactor라고 한다.
- 여인자의 행렬 $C = \left( C_{ij} \right)$ 의 전치행렬 $C^{T}$ 를 고전수반행렬classical Adjugate matrix이라 하고 $\text{adj} (A)$ 라 나타낸다.
설명
여인자가 사용되는 가장 널리 알려진 결과는 아무래도 라플라스 전개다. 영문 표기인 Adjugate에는 Adj-가 붙어있는 것에서 짐작할 수 있듯 과거에는 이걸 그냥 수반행렬adjoint matrix이라 불렀나본데, 현대로 와서는 켤레전치행렬을 수반행렬이라 부를 때가 많기 때문에 그와 대비되는 표현으로써 고전수반행렬classical Adjoint matrix라 부르는 것 같다.
성질
항등행렬 $I$ 와 행렬식 $\det$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ A \text{adj} (A) = \det (A) I $$ 특히 $A$ 가 가역행렬이면, 고전수반행렬을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \text{adj} (A) = \det (A) A^{-1} $$